Question

如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．

（1）求證：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′是直角時(shí)，求α的度數(shù)；

②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求AF′長(zhǎng)的最大值和此時(shí)α的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說(shuō)明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H，易證△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后運(yùn)用等量代換證明∠AHE=90°即可；

（2）①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：α由0°增大到90°過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，α=30°，α由90°增大到180°過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，α=150°；

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長(zhǎng)最大，AF′=AO+OF′=+2，此時(shí)α=315°．

【解答】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，

∴OA=OD，OA⊥OD，

∵OG=OE，

在△AOG和△DOE中，

，

∴△AOG≌△DOE，

∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，

∴∠GAO+∠DEO=90°，

∴∠AHE=90°，

即DE⊥AG；

（2）①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：

（Ⅰ）α由0°增大到90°過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，

∵OA=OD=OG=OG′，

∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，

∴OD∥AG′，

∴∠DOG′=∠AG′O=30°，

即α=30°；

（Ⅱ）α由90°增大到180°過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，

同理可求∠BOG′=30°，

∴α=180°﹣30°=150°．

綜上所述，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，α=30°或150°．

②如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長(zhǎng)最大，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，

∴OA=OD=OC=OB=，

∵OG=2OD，

∴OG′=OG=，

∴OF′=2，

∴AF′=AO+OF′=+2，

∵∠COE′=45°，

∴此時(shí)α=315°．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，有一定的綜合性，分類討論當(dāng)∠OAG′是直角時(shí)，求α的度數(shù)是本題的難點(diǎn)．