Question

【題目】如圖，拋物線y=（x﹣1）2+n與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣3），點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；
（2）點P是拋物線對稱軸上的一動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求出點P的坐標(biāo)；
（3）點Q在x軸上，且∠ADQ=∠DAC，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把C（0，﹣3）代入y=（x﹣1）2+n，得，﹣3=（0﹣1）2+n，

解得n=﹣4，

∴拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∵點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴點D的坐標(biāo)為（2，﹣3）

（2）

解：連接PA、PC、PD

∵點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱

∴PC=PD

∴AC+PA+PC=AC+PA+PD

∵AC為定值，PA+PD≥AD

∴當(dāng)PA+PC的值最小，即A，P，D三點在同一直線上時△PAC的周長最小，

由y=（x﹣1）2﹣4=0解得，x1=﹣1，x2=3，

∵A在B的左側(cè)，∴A（﹣1，0），

由A，D兩點坐標(biāo)可求得直線AD的解析式為y=﹣x﹣1，

當(dāng)x=1時，y=﹣x﹣1=﹣2，

∴當(dāng)△PAC的周長最小時，點P的坐標(biāo)為（1，﹣2）

（3）

解：如圖2中，

①作DQ∥AC交x軸于點Q，此時∠DQA=∠DAC，滿足條件．

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴直線AC的解析式為y=﹣3x﹣3，

∴直線QD的解析式為y=﹣3x+3，

令y=0得x=1，

∴Q（1，0）．

②設(shè)線段AD的垂直平分線交AC于E，直線DE與x的交點為Q′，此時∠Q′DA=′CAD，滿足條件，

∵直線AD的解析式為y=﹣x﹣1，

∴線段AD的中垂線是解析式為y=x﹣2，

由 解得 ，

∴E（﹣ ，﹣ ），

∴直線DE的解析式為y=﹣ x﹣ ，

令y=0得到x=﹣7，

∴Q′（﹣7，0）．

綜上所述，Q點坐標(biāo)為（1，0）或（﹣7，0）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出n，利用對稱性C、D關(guān)于對稱軸對稱即可求出點D坐標(biāo)．（2）A，P，D三點在同一直線上時△PAC的周長最小，求出直線AD的解析式即可解決問題．（3）分兩種情形①作DQ∥AC交x軸于點Q，此時∠DQA=∠DAC，滿足條件．②設(shè)線段AD的垂直平分線交AC于E，直線DE與x的交點為Q′，此時∠Q′DA=′CAD，滿足條件，分別求解即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．