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        1. 如圖1,已知拋物線的頂點為A(0,1),矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上,點D、E在x軸上,CF交y軸于點B(0,2),且其面積為8:
          (1)此拋物線的解析式;
          (2)如圖2,若點P為所求拋物線上的一動點,試判斷以點P為圓心,PB為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系,并說明理由.
          (3)如圖2,設點P在拋物線上且與點A不重合,直線PB與拋物線的另一個交點為Q,過點P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為N、M,連接PO、QO.求證:△QMO∽△PNO.
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          分析:(1)先根據(jù)點B(0,2),CF•OB=8,可知CF=4,由矩形的性質(zhì)可得出C、F點的坐標,再用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
          (2)設P點的坐標為(x0,
          1
          4
          x02+1),利用兩點間的距離公式可得出PB的長,再根據(jù)P到x軸的距離為
          1
          4
          x02+1即可得出結(jié)論;
          (3)由(2)可知,PB=PN,QB=QM,再根據(jù)PN、QM垂直x軸可得出QM∥BO∥PN,由平行線分線段成比例定理及∠QMO=∠PNO=90°即可得出△QMO∽△PNO.
          解答:解:(1)∵點B(0,2),
          ∴OB=2,
          又∵CF•OB=8,
          ∴CF=4,
          由題意可知,點C(-2,2),點F(2,2),
          設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
          4a-2b+c=2
          4a+2b+c=2
          c=1
          ,
          ∴拋物線的解析式為y=
          1
          4
          x2+1;

          (2)設P點的坐標為(x0
          1
          4
          x02+1),
          則PB=
          x02+(
          1
          4
          x02-1)
          2
          =
          1
          4
          x02+1,
          又點P到x軸的距離為
          1
          4
          x02+1,
          ∴以點P為圓心、PB為半徑的圓與x軸相切;


          (3)由(2)可知,PB=PN,QB=QM,
          ∵PN、QM垂直x軸,
          ∴QM∥BO∥PN,
          QB
          BP
          =
          MO
          ON
          ,
          QM
          PN
          =
          MO
          NO
          ,
          ∵∠QMO=∠PNO=90°,
          ∴△QMO∽△PNO.
          點評:本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、兩點間的距離公式、切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定,涉及面較廣,難度較大.
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          (1)求拋物線的解析式;
          (2)若點C在拋物線的對稱軸上,點D在拋物線上,且以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形,求D點的坐標;
          (3)連接OA、AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點P,使得△OBP與△OAB相似?若存在,求出P點的坐標;若不存在,說明理由.
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          (1)求此拋物線的解析式;
          (2)如圖2,若P點為拋物線上不同于A的一點,連接PB并延長交拋物線于點Q,過點P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
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