Question

已知：在菱形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)BD上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖甲，P為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q，當(dāng)O是BD的中點(diǎn)時(shí)，求證：OP=OQ；
（2）如圖乙，連接AO并延長(zhǎng)，與DC交于點(diǎn)R，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)S．若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求AS和OR的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）求簡(jiǎn)單的線(xiàn)段相等，可證線(xiàn)段所在的三角形全等，即證△ODQ≌△OBP．
（2）首先求AS的長(zhǎng)，要通過(guò)構(gòu)建直角三角形求解；過(guò)A作BC的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為T(mén)，在Rt△ABT中，易證得∠ABT=∠DCB=60°，又已知了斜邊AB的長(zhǎng)，通過(guò)解直角三角形可求出AT、BT的長(zhǎng)；進(jìn)而可在Rt△ATS中，由勾股定理求出斜邊AS的值；由于四邊形ABCD是菱形，則AD∥BC，易證得△ADO∽△SBO，已知了AD、BS的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例線(xiàn)段可得出OA、OS的比例關(guān)系式，即可求出OA、OS的長(zhǎng)；同理，可通過(guò)相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值；由OR=OS-RS即可求出OR的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC．
∴∠OBP=∠ODQ
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴OB=OD
在△BOP和△DOQ中，
∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ
∴△BOP≌△DOQ（ASA）
∴OP=OQ．

（2）解：如圖，過(guò)A作AT⊥BC，與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于T．
∵ABCD是菱形，∠DCB=60°
∴AB=AD=4，∠ABT=60°
∴在Rt△ATB中，AT=ABsin60°=2

3

TB=ABcos60°=2
∵BS=10，
∴TS=TB+BS=12，
在Rt△ATS中，
∴AS=

AT2+TS2

=2

39

．
∵AD∥BS，
∴△AOD∽△SOB．
∴

AO

OS

=

AD

SB

=

4

10

=

2

5

，
則

AS-OS

OS

=

2

5

，
∴

AS

OS

=

7

5

∵AS=2

39

，
∴OS=

5

7

AS=

10 39

7

．
同理可得△ARD∽△SRC．
∴

AR

RS

=

AD

SC

=

4

6

=

2

3

，
則

AS-SR

RS

=

2

3

，
∴

AS

RS

=

5

3

，
∴RS=

3

5

AS=

6 39

5

．
∴OR=OS-RS=

10 39

7

-

6 39

5

=

8 39

35

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)；（2）中能夠正確的構(gòu)建出直角三角形，求出AS的長(zhǎng)是解答此題的關(guān)鍵．