Question

已知：如圖①，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、。

（I）求證：
（II）①當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最�。�
②當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，并說(shuō)明理由；

（III）當(dāng)的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)。

Answer 1

（1）略（2）當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，值最�。�3）

解：（1）∵△ABE是等邊三角形， ∴BA=BE，∠ABE=60°， ∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN， 即∠BMA=∠NBE， 又∵M(jìn)B=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最��； ②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小， 理由如下：連接MN， 由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等邊三角形， ∴BM=MN， ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM， 根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短 ∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)；
（3）過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F， ∴∠EBF=90°-60°=30°， 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF=x，EF=， 在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2=EC2， ∴（）2+（x+x）2=， 解得，x=（舍去負(fù)值）， ∴正方形的邊長(zhǎng)為。