Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點(diǎn)在線(xiàn)段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線(xiàn)段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，∠AMN=∠ANM？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】（1）4（2）當(dāng)t=6時(shí)，△AMN的面積最大，最大值為

【解析】解：（1）∵從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線(xiàn)段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴AM=12﹣t，AN=2t。

∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t=4 秒。

∴當(dāng)t為4時(shí)，∠AMN=∠ANM。

（2）如圖作NH⊥AC于H，

∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。

∴△ANH∽△ABC。

∴，即。∴NH=。

∴。

∴當(dāng)t=6時(shí)，△AMN的面積最大，最大值為。

（1）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關(guān)于t的方程求得t值即可。

（2）作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計(jì)算其面積得到有關(guān)t的二次函數(shù)求最值即可。