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        1. (2006•成都)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)B(-2,0),A(m,0)(-<m<0),以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD,點(diǎn)E是線段OD與正方形ABCD的外接圓除點(diǎn)D以外的另一個(gè)交點(diǎn),連接BE與AD相交于點(diǎn)F.
          (1)求證:BF=DO;
          (2)設(shè)直線l是△BDO的邊BO的垂直平分線,且與BE相交于點(diǎn)G.若G是△BDO的外心,試求經(jīng)過B、F、O三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式;
          (3)在(2)的條件下,在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使該點(diǎn)關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)在x軸上?若存在,求出所有這樣的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】分析:(1)本題可通過全等三角形來證簡單的線段相等,三角形ABF和ADO中,根據(jù)圓周角定理可得出∠ABF=∠ADO,已知了一組直角和AB=AD,因此兩三角形全等,即可得出BF=OD的結(jié)論.
          (2)如果G是三角形BDO的外心,根據(jù)三角形外心定義可知BE必垂直平分OD,因此三角形BOD是等腰三角形.在等腰直角三角形ABD中,BD=BO=2,AB=OB-OA=2+m,因此可根據(jù)AB、BD的比例關(guān)系求出m的值,即可得出OA的長,而在(1)得出的全等三角形中,可得出OA=FG,據(jù)此可求出F點(diǎn)坐標(biāo).已知了B、F、O三點(diǎn)坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
          (3)在(2)中已經(jīng)證得BE是∠OBD的角平分線,因此P點(diǎn)必為直線BD與拋物線的交點(diǎn),先求出直線BD的解析式,然后聯(lián)立拋物線的解析式可得出P點(diǎn)坐標(biāo).
          解答:(1)證明:在△ABF和△ADO中,
          ∵四邊形ABCD是正方形,
          ∴AB=AD,∠BAF=∠DAO=90°.
          又∵∠ABF=∠ADO,
          ∴△ABF≌△ADO,
          ∴BF=DO.

          (2)解:由(1),有△ABF≌△ADO,
          ∵AO=AF=m.
          ∴點(diǎn)F(m,m).
          ∵G是△BDO的外心,
          ∴點(diǎn)G在DO的垂直平分線上.
          ∴點(diǎn)B也在DO的垂直平分線上.
          ∴△DBO為等腰三角形,
          ∵AB=AD,
          在Rt△BAD中,由勾股定理得:BO=BD=AB.
          而|BO|=2,|AB|=|-2-m|=2+m,
          ∴2=(2+m),
          ∴m=2-2
          ∴F(2-2,2-2).
          設(shè)經(jīng)過B,F(xiàn),O三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0).
          ∵拋物線過點(diǎn)O(0,0),
          ∴c=0.
          ∴y=ax2+bx. ①
          把點(diǎn)B(-2,0),點(diǎn)F(2-2,2-2)的坐標(biāo)代入①中,


          解得
          ∴拋物線的解析表達(dá)式為y=x2+x.②

          (3)解:假定在拋物線上存在一點(diǎn)P,使點(diǎn)P關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)P'在x軸上.
          ∵BE是∠OBD的平分線,
          ∴x軸上的點(diǎn)P'關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)P必在直線BD上,
          即點(diǎn)P是拋物線與直線BD的交點(diǎn).
          設(shè)直線BD的解析表達(dá)式為y=kx+b,并設(shè)直線BD與y軸交于點(diǎn)Q,則由△BOQ是等腰直角三角形.
          ∴|OQ|=|OB|.
          ∴Q(0,-2).
          把點(diǎn)B(-2,0),點(diǎn)Q(0,-2)代入y=kx+b中,


          ∴直線BD的解析表達(dá)式為y=-x-2
          設(shè)點(diǎn)P(x,y),則有y=-x-2. ③
          把③代入②,得x2+x=-x-2,
          x2+(+1)x+2=0,
          即x2+2(+1)x+4=0.
          ∴(x+2)(x+2)=0.
          解得x=-2或x=-2.
          當(dāng)x=-2時(shí),y=-x-2=2-2=0;
          當(dāng)x=-2時(shí),y=-x-2=2-2
          ∴在拋物線上存在點(diǎn)P1(-2,0),P2(-2,2-2),它們關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)都在x軸上.
          點(diǎn)評:本題有一定的難度,綜合性也比較強(qiáng),有一定的新意,第3小問有些難度,有一定的能力要求,解這種題時(shí)需冷靜地分析題意,找到切入點(diǎn)不會(huì)很難.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求證:BF=DO;
          (2)設(shè)直線l是△BDO的邊BO的垂直平分線,且與BE相交于點(diǎn)G.若G是△BDO的外心,試求經(jīng)過B、F、O三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式;
          (3)在(2)的條件下,在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使該點(diǎn)關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)在x軸上?若存在,求出所有這樣的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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          (1)求k和m的值;
          (2)若一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,并且與x軸相交于點(diǎn)C,求∠ACO的度數(shù)和|AO|:|AC|的值.

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          (1)求k和m的值;
          (2)若一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,并且與x軸相交于點(diǎn)C,求∠ACO的度數(shù)和|AO|:|AC|的值.

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