Question

如圖，將邊長(zhǎng)為8的等邊△AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，將△OAC繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△OBD，這時(shí)，點(diǎn)D恰好落在y軸上．若動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，沿線(xiàn)段OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)，沿線(xiàn)段DO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△OEF的面積為

3 3

4

時(shí)，求t的值；
（3）設(shè)EF與OB相交于點(diǎn)P，當(dāng)t為何值時(shí)，△OPF與△OBD相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可直接得出A點(diǎn)坐標(biāo)；再由OC⊥AB可得出OC的長(zhǎng)，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)可得出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OD于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知OC平分∠AOB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出EG的長(zhǎng)，S_△OEF=

1

2

OF•EG，OF=OD-DF=4

3

-t即可得出t的值；
（3）由于∠BOD=∠FOP，△OPF∽△ODB和△OPF∽△OBD兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）∵等邊△AOB的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)A在x軸正半軸上，
∴A（8，0），
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=30°，
∴OC=OA•cos30°=8×

3

2

=4

3

，
∵△OAC旋轉(zhuǎn)后OC與OD重合，
∴D（0，4

3

）；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OD于點(diǎn)G，如圖①所示：
∵△OAB為等邊三角形，OC⊥AB，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
∴∠EOG=90°-30°=60°，
∴EG=OE•sin∠EOG=

3

2

t，
又∵S_△OEF=

1

2

OF•EG，OF=OD-DF=4

3

-t，
由題意可得：

1

2

（4

3

-t）•

3

2

t=

3 3

4

解得t=2

3

±3；

（3）因?yàn)椤螧OD=∠FOP，所以應(yīng)分兩種情況討論：
①當(dāng)∠FPO=∠BDO=90°時(shí)，如圖②，
∵△OPF∽△ODB，此時(shí)OE=OF，
∴t=4

3

-t，解得：t=2

3

；
②當(dāng)∠OFP=∠ODB=90°時(shí)，如圖③，
∵△OPF∽△OBD，
∴OF=

1

2

OE，即（4

3

-t）=

1

2

t，
解得：t=

8 3

3

．
綜上所述，當(dāng)t=2

3

秒或t=

8 3

3

秒時(shí)，△OPF與△OBD相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．