Question

今年春季，由于缺乏市場(chǎng)指導(dǎo)，盲目種植及氣候等因素影響，大量應(yīng)季的南北蔬菜集中上市，致使某些蔬菜的收購(gòu)價(jià)陡跌，北方不少地區(qū)的菜農(nóng)因此陷入困境．以菜農(nóng)王某所種油菜為例，從今年油菜開始上市，每周收購(gòu)價(jià)y（元/千克）與上市時(shí)間x（周）的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示．而同時(shí)市場(chǎng)售價(jià)z（元/千克）與上市時(shí)間x（周）的關(guān)系如圖所示．

x（周）	1	3	4	5
y（元/千克）	3.0	1.05	0.45	0.1

（1）請(qǐng)你從所學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示y與x以及z與x的變化規(guī)律，求出y與x以及z與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試問這5周，哪一周油菜的市場(chǎng)售價(jià)與收購(gòu)價(jià)的差距最大？求出這個(gè)最大差距；
（3）由于供遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于求以及運(yùn)輸問題，盡管油菜收購(gòu)價(jià)已低至0.1元/千克，不少菜農(nóng)種植的油菜卻仍然無(wú)人問津．商務(wù)部采取各種措施，發(fā)揮地方政府儲(chǔ)備和商業(yè)儲(chǔ)備的應(yīng)急調(diào)節(jié)作用，務(wù)求幫助菜農(nóng)解決“賣菜難”問題．從上市第6周開始逐見成效．以菜農(nóng)王某為例，上市第5周時(shí)共售出2噸油菜，有1噸成熟的油菜因?yàn)闆]能售出而爛在地里．從第6周起，銷售量比上周增加a%，且收購(gòu)價(jià)也比上周上漲7a%．已知油菜的種植成本為1.2元/千克，假設(shè)每周成熟的油菜數(shù)量一樣．這樣一來(lái)，第6周的損失比第5周大約少了980元．請(qǐng)你參考以下數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算估算出a的值．（精確到十分位）
（參考數(shù)據(jù)：141²=19881，142²=20164，143²=20449，144²=20736，145²=21025）

Answer 1

分析：（1）首先判斷出函數(shù)關(guān)系，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出答案即可；
（2）根據(jù)差距=z-y得出關(guān)于x的函數(shù)解析式，進(jìn)而利用公式法求出x=-

b

2a

時(shí)，得出此時(shí)差距最大；
（3）根據(jù)先求出第5周損失=2000×（1.2-0.1）+1000×1.2=3400，再由題意得出等式方程求出即可．

解答：解：（1）根據(jù)圖表可得出y與x是二次函數(shù)關(guān)系，設(shè)解析式為：y=ax²+bx+c，
將（1，3.0），（3，1.05），（4，0.45）代入得：

a+b+c=3.0 9a+3b+c=1.05 16a+4b+c=0.45

，
解得：

a= 1 8 b=- 59 40 c= 87 20

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=

1

8

x2-

59

40

x+

87

20

，
根據(jù)圖象可以得出z與x是一次函數(shù)關(guān)系，將（2，6），（5，3）代入z=kx+b得：

2k+b=6 5k+b=3

，
解得：

k=-1 b=8

故z與x的函數(shù)關(guān)系式為：z=-x+8；

（2）差距=z-y=-

1

8

x2+

19

40

x-

87

20

．
當(dāng)x=-

b

2a

=-

19

40

÷[2×(-

1

8

)]=

19

10

時(shí)，有最大差距．
而周數(shù)x只能取整數(shù)，
故當(dāng)x=2時(shí)，有最大差距為4.1元/千克；

（3）先求出第5周損失=2000×（1.2-0.1）+1000×1.2=3400，再由題意得
2000×（1+a%）[1.2-0.1（1+7a%）]+[3000-2000（1+a%）]×1.2=3400-980
令t=a%，整理得70t²+80t-49=0，
解得：t≈

-80±142

140

．
則t₁=

-80+142

140

≈0.4429，t₂=

-80-142

140

≈-1.5857（舍）．
故a≈44.3．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知得出第5周損失進(jìn)而表示出關(guān)于第6周損失的等式方程是解題關(guān)鍵．