Question

20．如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過(guò)B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)BD=6，AB=10時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE，如圖，由BE平分∠ABD得到∠OBE=∠DBO，加上∠OBE=∠OEB，則∠OBE=∠DBO，于是可判斷OE∥BD，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到BD⊥AC，所以O(shè)E⊥AC，于是根據(jù)切線的判定定理可得AC與⊙O相切；
（2）設(shè)⊙O半徑為r，則AO=10-r，證明△AOE∽△ABD，利用相似比得到$\frac{10-r}{10}$=$\frac{r}{6}$，然后解方程求出r即可．

解答 解：（1）AC與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OE，如圖，
∵BE平分∠ABD，
∴∠OBE=∠DBO，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠DBO，
∴OE∥BD，
∵AB=BC，D是AC中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴AC與⊙O相切；
（2）設(shè)⊙O半徑為r，則AO=10-r，
由（1）知，OE∥BD，
∴△AOE∽△ABD，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BD}$，即$\frac{10-r}{10}$=$\frac{r}{6}$，
∴r=$\frac{15}{4}$，
即⊙O半徑是$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．解決（2）小題的關(guān)鍵是利用相似比構(gòu)建方程．