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        1. 【題目】已知直線l與直線l外一點(diǎn)P,求作:過點(diǎn)P且垂直于直線l的垂線a(尺規(guī)作圖).

          現(xiàn)給出一種作法,如下:

          步驟一:在直線l外取一點(diǎn)E,以點(diǎn)P為圓心,以線段PE為半徑畫弧,交直線l于點(diǎn)M,N;

          步驟二:分別以點(diǎn)M、N為圓心,大于線段MN為半徑畫弧,過兩弧的交點(diǎn)的直線a就是所求作的垂線.

          (1)按上述操作步驟,請(qǐng)成功作出過點(diǎn)P且垂直于直線l的垂線a.(符合要求的一種圖形),并說明理由.

          (2)從你作圖的過程中,思考要保證這種作法順利作出,線段PE應(yīng)該滿足什么條件?

          (3)為了避免這種情況產(chǎn)生,小明說只要在直線l上取點(diǎn)E好了,并給出了畫法,畫法對(duì)嗎?請(qǐng)說明理由.

          (作法:在直線l上取兩點(diǎn)B、D,以P為圓心,以PD 為半徑畫圓交直線l于點(diǎn)E,以P為圓心,以PB 為半徑畫圓交直線l于點(diǎn)F,其中較小圓分別交PB,PF于點(diǎn)M、N,連接E、ND、M,ENMD相交于點(diǎn)H,則PH就是所求的垂線.)

          (4)請(qǐng)?jiān)谥本l上取點(diǎn)E,用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)P且垂直于直線l的垂線a(與小明不同的方法,并要求盡可能簡單).

          【答案】答案見解析.

          【解析】試題分析:(1)、分點(diǎn)E、點(diǎn)P在直線l的異側(cè)、同側(cè)兩種情況來分別進(jìn)行討論,從而根據(jù)圓的性質(zhì)得出答案;(2)、根據(jù)第一題的情況分析得出線段PE要大于點(diǎn)P到直線的距離;(3)、連接MN,根據(jù)題意得出△PMH和△PNH全等,然后根據(jù)圓心角的逆定理得出垂線;(4)、利用直徑所對(duì)的圓周角是直角.

          試題解析:(1)、根據(jù)點(diǎn)E、點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系可分為兩種情況:

          i)點(diǎn)E、點(diǎn)P在直線l的異側(cè),如圖1所示,

          ii)點(diǎn)E、點(diǎn)P在直線l的同側(cè),再根據(jù)點(diǎn)P到直線l 的距離與半徑PE長度的比較,圓P與直線l的位置關(guān)系可分為三種情況:①圓P與直線l相交,且有兩個(gè)交點(diǎn),如圖2;

          ②、圓P與直線l相交,且有一個(gè)交點(diǎn),如圖3;③圓P與直線l相離,如圖4.

          理由如下:

          1,解法:根據(jù)第二步作法可得直線a是線段MN的中垂線a, ∵半徑PM=PN;

          ∴點(diǎn)P在線段MN的中垂線; ∴點(diǎn)P在直線a上;

          2,解法:同第一題解法一樣;

          3,P與直線l交點(diǎn)M,N重合,不符合要求,因此不予討論;

          4中的圓P不能與直線l相交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn),因此不能做出直線a.

          (2)、根據(jù)第一題的情況分析得出線段PE要大于點(diǎn)P到直線的距離.

          (3)、正確.根據(jù)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線PH的同側(cè)(如圖6)或異側(cè)(如圖5)兩種畫法如下:

          5理由: 連接MN,可得MNBF, ∴∠MNE=NED,= ∴∠NMD=MNE,

          MH=NH, 由△PMH≌△PNH, ∴∠MPH=NPH, PH平分弧MN,即PH垂直ED,

          所以PH就是所求的垂線;

          圖⑥理由:同圖⑤證明.

          (4)、第一種方法,如圖7:

          原理:利用直徑所對(duì)的圓周角是直角,即直徑PE所對(duì)的∠PBE是直角.

          作法:在直線l上取一點(diǎn)E,連接PE,取線段PE中點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,線段PO為半徑作圓,交直線于點(diǎn)B,作直線PB就是所求的直線a;

          第二種方法,如圖8:原理:由半徑PE=BE可得點(diǎn)E在線段PB的中垂線上,同理可得點(diǎn)A在線段BP的中垂線上,所以直線l是線段BP的中垂線,即直線BP就是所求的直線a;

          作法:在直線l上取點(diǎn)E和點(diǎn)A,然后以點(diǎn)E為圓心,線段PE為半徑作圓,再以點(diǎn)A為圓心,線段PA為半徑作圓,兩圓相交于點(diǎn)P和點(diǎn)B.直線BP就是所求的直線a.

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          4

          4

          長方體

          8

          12

          正八面體

          8

          12

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