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        1. 【題目】已知直線l與直線l外一點P,求作:過點P且垂直于直線l的垂線a(尺規(guī)作圖).

          現(xiàn)給出一種作法,如下:

          步驟一:在直線l外取一點E,以點P為圓心,以線段PE為半徑畫弧,交直線l于點M,N;

          步驟二:分別以點M、N為圓心,大于線段MN為半徑畫弧,過兩弧的交點的直線a就是所求作的垂線.

          (1)按上述操作步驟,請成功作出過點P且垂直于直線l的垂線a.(符合要求的一種圖形),并說明理由.

          (2)從你作圖的過程中,思考要保證這種作法順利作出,線段PE應該滿足什么條件?

          (3)為了避免這種情況產(chǎn)生,小明說只要在直線l上取點E好了,并給出了畫法,畫法對嗎?請說明理由.

          (作法:在直線l上取兩點B、D,以P為圓心,以PD 為半徑畫圓交直線l于點E,以P為圓心,以PB 為半徑畫圓交直線l于點F,其中較小圓分別交PB,PF于點M、N,連接E、ND、M,ENMD相交于點H,則PH就是所求的垂線.)

          (4)請在直線l上取點E,用直尺和圓規(guī)過點P且垂直于直線l的垂線a(與小明不同的方法,并要求盡可能簡單).

          【答案】答案見解析.

          【解析】試題分析:(1)、分點E、點P在直線l的異側、同側兩種情況來分別進行討論,從而根據(jù)圓的性質(zhì)得出答案;(2)、根據(jù)第一題的情況分析得出線段PE要大于點P到直線的距離;(3)、連接MN,根據(jù)題意得出△PMH和△PNH全等,然后根據(jù)圓心角的逆定理得出垂線;(4)、利用直徑所對的圓周角是直角.

          試題解析:(1)、根據(jù)點E、點P與直線l的位置關系可分為兩種情況:

          i)點E、點P在直線l的異側,如圖1所示,

          ii)點E、點P在直線l的同側,再根據(jù)點P到直線l 的距離與半徑PE長度的比較,圓P與直線l的位置關系可分為三種情況:①圓P與直線l相交,且有兩個交點,如圖2;

          ②、圓P與直線l相交,且有一個交點,如圖3;③圓P與直線l相離,如圖4.

          理由如下:

          1,解法:根據(jù)第二步作法可得直線a是線段MN的中垂線a, ∵半徑PM=PN;

          ∴點P在線段MN的中垂線; ∴點P在直線a上;

          2,解法:同第一題解法一樣;

          3,P與直線l交點M,N重合,不符合要求,因此不予討論;

          4中的圓P不能與直線l相交于點M、N兩點,因此不能做出直線a.

          (2)、根據(jù)第一題的情況分析得出線段PE要大于點P到直線的距離.

          (3)、正確.根據(jù)點E和點D在直線PH的同側(如圖6)或異側(如圖5)兩種畫法如下:

          5理由: 連接MN,可得MNBF, ∴∠MNE=NED,=, ∴∠NMD=MNE,

          MH=NH, 由△PMH≌△PNH, ∴∠MPH=NPH, PH平分弧MN,即PH垂直ED,

          所以PH就是所求的垂線;

          圖⑥理由:同圖⑤證明.

          (4)、第一種方法,如圖7:

          原理:利用直徑所對的圓周角是直角,即直徑PE所對的∠PBE是直角.

          作法:在直線l上取一點E,連接PE,取線段PE中點O,以點O為圓心,線段PO為半徑作圓,交直線于點B,作直線PB就是所求的直線a;

          第二種方法,如圖8:原理:由半徑PE=BE可得點E在線段PB的中垂線上,同理可得點A在線段BP的中垂線上,所以直線l是線段BP的中垂線,即直線BP就是所求的直線a;

          作法:在直線l上取點E和點A,然后以點E為圓心,線段PE為半徑作圓,再以點A為圓心,線段PA為半徑作圓,兩圓相交于點P和點B.直線BP就是所求的直線a.

          練習冊系列答案
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          4

          4

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          12

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