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        1. 【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,等腰Rt△ABC的頂點A、C在坐標(biāo)軸上運(yùn)動,且∠ACB=90°,AC=BC.

          (1)如圖1,當(dāng)A(0,-2),C(1,0),點B在第四象限時,則點B的坐標(biāo)為_____;

          (2)如圖2,當(dāng)點C在x軸正半軸上運(yùn)動,點A在y軸正半軸上運(yùn)動,點B在第四象限時,作BDy軸于點D,試判斷哪一個是定值,并說明定值是多少?請證明你的結(jié)論.

          (3)如圖3,當(dāng)點C在y軸正半軸上運(yùn)動,點A在x軸正半軸上運(yùn)動,使點D恰為BC的中點,連接DE,求證:∠ADC=∠BDE.

          【答案】(3,-1)

          【解析】試題分析

          (1)如下圖1,過點BBD⊥x軸于點D,結(jié)合已知條件證△OAC≌△DCB,就可求得BDOD的長,從而可得點B的坐標(biāo);

          2)如下圖2,過點BBEx軸于點E,結(jié)合已知條件可證得△OAC≌△ECB,四邊形ODBE是矩形,這樣就可得到:CE=OABD=OE,所以OC-BD=OC-OE=CE,從而可得: ;

          3如下圖3過點BBG⊥BC于點B,交y軸于點G,結(jié)合已知條件可證△CBG≌△ACD,從而可得:∠ADC=∠CGB,BG=CD,結(jié)合CD=BD可得BD=BG;再證∠DBE=∠GBE=45°,就可結(jié)合BE=BE,證得△DBE≌△GBE,從而可得∠BDE=∠BGE,結(jié)合∠ADC=∠CGB就可證得:∠ADC=∠BDE

          試題解析

          (1)∵A的坐標(biāo)為(0-2),C的坐標(biāo)為(1,0)

          ∴OA=2,OC=1,

          BD⊥CD,

          ∵∠OCA+∠DCB=90°,∠OAC+∠DCB=90°,

          ∴∠OAC=∠DCB,

          OACDCB中,

          ∴△OAC≌△DCB,(AAS)

          ∴CD=OA=2BD=OC=1,OD=3,

          ∴B點坐標(biāo)為(3,-1);

          (2)BE⊥OC,則四邊形ODBE為矩形,

          ∵∠ACO+∠BCO=90°∠ACO+∠OAC=90°,

          ∴∠BCO=∠CAO

          ∵△OACECB中,

          ∴△OAC≌△ECB,(AAS)

          ∴EC=OA

          四邊形ODBE為矩形,

          ∴OE=BD,

          ∵OC=OE+EC

          ∴OC=AO+BD,

          ∴OC-BD=OA,

          ,即是定值,且定值為1;

          (3)過點BBG⊥BCy軸于點G,

          ∴∠CBG=∠ACD=90°,

          ∵∠BCG+∠ACG=90°∠ACO+∠DCO=90°,

          ∴∠DCO=∠CAO

          BCGCAD中,

          ∴△BCG≌△CAD(ASA),

          ∴BG=CD=BD,∠BGE=∠ADC,

          Rt△ABC,∠ACB=90°AC=BC,

          ∠ABC=∠BAC=45°

          ∵∠CBG=90°,

          ∴∠EBG=∠DBE=45°,

          DBEGBE中,

          ∴△DBE≌△GBE(SAS)

          ∴∠BDE=∠BGE,

          ∵∠BGE=∠ADC

          ∴∠ADC=∠BDE

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          (2)求證:⊙O的直徑長為常數(shù)k;

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