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        1. 【題目】如圖,已知BAD和BCE均為等腰直角三角形,BAD=BCE=90°,點M為DE的中點,過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.

          (1)當(dāng)A,B,C三點在同一直線上時(如圖1),求證:M為AN的中點;

          (2)將圖1中的BCE繞點B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點在同一直線上時(如圖2),求證:ACN為等腰直角三角形;

          (3)將圖1中BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時,(2)中的結(jié)論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請說明理由.

          【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)ACN仍為等腰直角三角形

          【解析】

          試題分析:(1)由ENAD和點M為DE的中點可以證到ADM≌△NEM,從而證到M為AN的中點.

          (2)易證AB=DA=NE,ABC=NEC=135°,從而可以證到ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,ACN=BCE=90°,則有ACN為等腰直角三角形.

          (3)延長AB交NE于點F,易得ADM≌△NEM,根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和,可得ABC=FEC,從而可以證到ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,ACN=BCE=90°,則有ACN為等腰直角三角形.

          試題解析:(1)如圖1,

          ENAD,

          ∴∠MAD=MNE,ADM=NEM.

          點M為DE的中點,

          DM=EM.

          ADM和NEM中,

          ∴△ADM≌△NEM.

          AM=MN.

          M為AN的中點.

          (2)如圖2,

          ∵△BAD和BCE均為等腰直角三角形,

          AB=AD,CB=CE,CBE=CEB=45°.

          ADNE,

          ∴∠DAE+NEA=180°.

          ∵∠DAE=90°,

          ∴∠NEA=90°.

          ∴∠NEC=135°.

          A,B,E三點在同一直線上,

          ∴∠ABC=180°﹣CBE=135°.

          ∴∠ABC=NEC.

          ∵△ADM≌△NEM(已證),

          AD=NE.

          AD=AB,

          AB=NE.

          ABC和NEC中,

          ∴△ABC≌△NEC.

          AC=NC,ACB=NCE.

          ∴∠ACN=BCE=90°.

          ∴△ACN為等腰直角三角形.

          (3)ACN仍為等腰直角三角形.

          證明:如圖3,延長AB交NE于點F,

          ADNE,M為中點,

          易得ADM≌△NEM,

          AD=NE.

          AD=AB,

          AB=NE.

          ADNE,

          AFNE,

          在四邊形BCEF中,

          ∵∠BCE=BFE=90°

          ∴∠FBC+FEC=360°﹣180°=180°

          ∵∠FBC+ABC=180°

          ∴∠ABC=FEC

          ABC和NEC中,

          ∴△ABC≌△NEC.

          AC=NC,ACB=NCE.

          ∴∠ACN=BCE=90°.

          ∴△ACN為等腰直角三角形.

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