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        1. 【題目】已知E,F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點,AF,DE相交于點G,當E,F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點時,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.
          試探究下列問題:
          (1)如圖1,若點E不是邊BC的中點,F(xiàn)不是邊CD的中點,且CE=DF,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?(請直接回答“成立”或“不成立”),不需要證明)
          (2)如圖2,若點E,F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上,且CE=DF,此時,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程,若不成立,請說明理由;
          (3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,連接AE和EF,若點M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點,請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種,并證明你的結(jié)論.

          【答案】解:(1)上述結(jié)論①,②仍然成立,
          理由為:∵四邊形ABCD為正方形,
          ∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,
          在△ADF和△DCE中,

          ∴△ADF≌△DCE(SAS),
          ∴AF=DE,∠DAF=∠CDE,
          ∵∠ADG+∠EDC=90°,
          ∴∠ADG+∠DAF=90°,
          ∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;
          (2)上述結(jié)論①,②仍然成立,
          理由為:∵四邊形ABCD為正方形,
          ∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,
          在△ADF和△DCE中,
          ,
          ∴△ADF≌△DCE(SAS),
          ∴AF=DE,∠CDE=∠DAF,
          ∵∠ADG+∠EDC=90°,
          ∴∠ADG+∠DAF=90°,
          ∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;
          (3)四邊形MNPQ是正方形.
          理由為:如圖,設(shè)MQ,DE分別交AF于點G,O,PQ交DE于點H,
          ∵點M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點,
          ∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,
          ∴四邊形OHQG是平行四邊形,
          ∵AF=DE,
          ∴MQ=PQ=PN=MN,
          ∴四邊形MNPQ是菱形,
          ∵AF⊥DE,
          ∴∠AOD=90°,
          ∴∠HQG=∠AOD=90°,
          ∴四邊形MNPQ是正方形.

          【解析】(1)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠DAF=∠CDE,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;
          (2)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠E=∠F,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;
          (3)首先設(shè)MQ,DE分別交AF于點G,O,PQ交DE于點H,由點M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點,即可得MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,然后由AF=DE,可證得四邊形MNPQ是菱形,又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形.

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          12628

          成活的頻率(精確到0.01

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