Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD、BE相交于點(diǎn)，且BF=AC.

（1）求證：△ADC≌△BDF

（2）若CD=3，BD=5，求AF的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AF=2.

【解析】（1）先證明AD=BD，再證明∠FBD=∠DAC，從而利用ASA證明△BDF≌△ADC；

（2）利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出DF=CD=4，根據(jù)勾股定理求出CF即可.

解：（1）證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠FDB=∠CDA=∠AEF=90°.

∵∠FBD+∠FDB+∠BFD=180°，

∠CAD+∠AEF+∠AFE=180°，

又∵∠BFD=∠AFE，

∴ ∠FBD = ∠CAD.

∵在△ADC和△BDF中，

∠FDB=∠CDA ，

∠FBD = ∠CAD ，

BF=AC，

∴ △ADC≌△BDF（AAS）.

(2) 解：∵ 由（1）知，

△ADC≌△BDF，

∴ DC=DF，AD=BD，

∴ AF=AD-DF=BD-CD=5-3=2.

“點(diǎn)睛”此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出能使三角形全等的條件，注意：全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.