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        1. (1)觀察與猜想:已知當(dāng)0°<α<60°時(shí),下列關(guān)系式有且只有一個(gè)正確,正確的是
          C
          C
          (填代號(hào))
          A.2sin(30°+α)=sinα+
          3
             
          B.2sin(30°+α)=2sinα+
          3

          C.2sin(30°+α)=
          3
          sinα+cosα.
          (2)探究與證明:如圖1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請(qǐng)利用圖1證明(1)中你猜想的結(jié)論;
          (3)應(yīng)用新知識(shí)解決問題:
          兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內(nèi),BD=8
          2
          ,求S△ABC
          分析:(1)正確的選項(xiàng)為C;
          (2)過A作AD⊥BM,交BC延長線于點(diǎn)M,過C作CE⊥AB,在直角三角形ABM中,利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,得到AM等于AB的一半,再由∠ACM為三角形ABC的外角,利用外角性質(zhì)得到∠ACM=30°+α,在直角三角形AEC中,表示出EC與AE,在直角三角形BEC中,表示出BE,由AE+EB表示出AB,化簡后即可得證;
          (3)由上述結(jié)論2sin(30°+45°)=
          3
          sin45°+cos45°,求出sin75°的值,過A作AE垂直于BC,由BD分別求出AB與BC的長,在直角三角形AB中,利用銳角三角函數(shù)定義求出AE的長,利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積.
          解答:解:(1)正確的選項(xiàng)為C;
          (2)過A作AM⊥BM,交BC延長線于點(diǎn)M,過C作CE⊥AB,
          ∵∠AMB=90°,∠B=30°,
          ∴AM=
          1
          2
          AB,即AB=2AM,
          ∵∠ACM為△ABC的外角,
          ∴∠ACM=∠B+∠BAC=30°+α,
          在Rt△ACM中,AC=1,
          ∴AM=ACsin∠ACM=sin(30°+α),
          則AB=2sin(30°+α),
          在Rt△AEC中,EC=ACsinα=sinα,AE=ACcosα=cosα,
          在Rt△BEC中,BE=
          CE
          tan30°
          =
          3
          CE=
          3
          sinα,
          則AB=BE+AE=
          3
          sinα+cosα,
          則2sin(30°+α)=
          3
          sinα+cosα;
          (3)∵∠ABD=45°,∠CBD=30°,
          ∴2sin(30°+45°)=
          3
          sin45°+cos45°=
          6
          +
          2
          2
          ,
          ∴sin75°=
          6
          +
          2
          4
          ,
          過A作AE⊥BC,
          在等腰直角三角形ABD中,BD=8
          2

          ∴AB=AD=8,
          在Rt△BCD中,BD=8
          2
          ,
          ∴CD=4
          2
          ,BC=
          BD2-CD2
          =4
          6

          在Rt△ABE中,sin75°=
          AE
          AB
          ,
          ∴AE=8×
          6
          +
          2
          4
          =2
          6
          +2
          2
          ,
          則S△ABC=
          1
          2
          BC•AE=
          1
          2
          ×4
          6
          ×(2
          6
          +2
          2
          )=24+8
          3
          點(diǎn)評(píng):此題屬于解直角三角形題型,涉及的知識(shí)有:含30°直角三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義,勾股定理,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:矩形紙片ABCD中,AB=26厘米,BC=18.5厘米,點(diǎn)E在AD上,且AE=6厘米,點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn).按如下操作:
          步驟一,折疊紙片,使點(diǎn)P與點(diǎn)E重合,展開紙片得折痕MN(如圖1所示);
          步驟二,過點(diǎn)P作PT⊥AB,交MN所在的直線于點(diǎn)Q,連接QE(如圖2所示)
          (1)無論點(diǎn)P在AB邊上任何位置,都有PQ
           
          QE(填“>”、“=”、“<”號(hào));
          (2)如圖3所示,將紙片ABCD放在直角坐標(biāo)系中,按上述步驟一、二進(jìn)行操作:
          ①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí),PT與MN交于點(diǎn)Q1,Q1點(diǎn)的坐標(biāo)是(
           
          ,
           
          );
          ②當(dāng)PA=6厘米時(shí),PT與MN交于點(diǎn)Q2,Q2點(diǎn)的坐標(biāo)是(
           
           
          );
          ③當(dāng)PA=12厘米時(shí),在圖3中畫出MN,PT(不要求寫畫法),并求出MN與PT的交點(diǎn)Q3的坐標(biāo);
          (3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程,PT與MN形成一系列的交點(diǎn)Q1,Q2,Q3,…觀察、猜想:眾多的交點(diǎn)形成的圖象是什么并直接寫出該圖象的函數(shù)表達(dá)式.③③
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•龍巖質(zhì)檢)觀察、猜想、探究
          已知矩形ABCD中,直線l垂直AC于點(diǎn)C,點(diǎn)E是BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),過點(diǎn)E作EF⊥AE交直線l于點(diǎn)F.
          (1)如圖①,當(dāng)AB=BC,E為BC中點(diǎn)時(shí),猜想線段AE與FE有何數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
          (2)如圖②,已知AB=3,AD=4.
          ①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),求AE:EF的值;
          ②探究:當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),AE:EF的值是否發(fā)生改變?若不變,請(qǐng)求出該值并給予證明;若發(fā)生改變,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          (1)觀察與猜想:已知當(dāng)0°<α<60°時(shí),下列關(guān)系式有且只有一個(gè)正確,正確的是______(填代號(hào))
          A.2sin(30°+α)=sinα+數(shù)學(xué)公式 
          B.2sin(30°+α)=2sinα+數(shù)學(xué)公式
          C.2sin(30°+α)=數(shù)學(xué)公式sinα+cosα.
          (2)探究與證明:如圖1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請(qǐng)利用圖1證明(1)中你猜想的結(jié)論;
          (3)應(yīng)用新知識(shí)解決問題:
          兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內(nèi),BD=8數(shù)學(xué)公式,求S△ABC

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年山東省威海市中考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

          (1)觀察與猜想:已知當(dāng)0°<α<60°時(shí),下列關(guān)系式有且只有一個(gè)正確,正確的是______(填代號(hào))
          A.2sin(30°+α)=sinα+   
          B.2sin(30°+α)=2sinα+
          C.2sin(30°+α)=sinα+cosα.
          (2)探究與證明:如圖1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請(qǐng)利用圖1證明(1)中你猜想的結(jié)論;
          (3)應(yīng)用新知識(shí)解決問題:
          兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內(nèi),BD=8,求S△ABC

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