Question

（2013•荊門(mén)）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．
（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可．

解答：證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，

AB=AC ∠BAE=∠EAC AE=AE

，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF為等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，

∠EAF=∠CBF AF=BF ∠AFE=∠BFC=90°

，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記三角形全等的判定方法與各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．