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        1. 【題目】如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3x軸相交于點(diǎn)A﹣10)、B3,0),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為線(xiàn)段OB上的動(dòng)點(diǎn)(不與O、B重合),過(guò)點(diǎn)P垂直于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)及線(xiàn)段BC分別交于點(diǎn)EF,點(diǎn)Dy軸正半軸上,OD=2,連接DEOF

          1)求拋物線(xiàn)的解析式;

          2)當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

          3)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)將(2)中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分,求這條直線(xiàn)的解析式.(不必說(shuō)明平分平行四邊形面積的理由)

          【答案】1y=﹣x2+2x+3210)或(2,0).3y=x+y=x+

          【解析】

          試題分析:1)利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式;

          2)平行四邊形的對(duì)邊相等,因此EF=OD=2,據(jù)此列方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

          3)本問(wèn)利用中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解.平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形,其對(duì)稱(chēng)中心為兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)(或?qū)蔷(xiàn)的中點(diǎn)),過(guò)對(duì)稱(chēng)中心的直線(xiàn)平分平行四邊形的面積,因此過(guò)點(diǎn)AODEF對(duì)稱(chēng)中心的直線(xiàn)平分ODEF的面積.

          解:(1點(diǎn)A﹣1,0)、B3,0)在拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3上,

          ,

          解得a=﹣1b=2,

          拋物線(xiàn)的解析式為:y=﹣x2+2x+3

          2)在拋物線(xiàn)解析式y=﹣x2+2x+3中,令x=0,得y=3,

          C0,3).

          設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b,將B3,0),C0,3)坐標(biāo)代入得:

          解得k=﹣1,b=3,

          y=﹣x+3

          設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,﹣x2+2x+3),則Px,0),Fx,﹣x+3),

          EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣﹣x+3=﹣x2+3x

          四邊形ODEF是平行四邊形,

          EF=OD=2,

          ﹣x2+3x=2,即x2﹣3x+2=0,

          解得x=1x=2,

          P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(2,0).

          3)平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形,其對(duì)稱(chēng)中心為兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)(或?qū)蔷(xiàn)的中點(diǎn)),過(guò)對(duì)稱(chēng)中心的直線(xiàn)平分平行四邊形的面積,因此過(guò)點(diǎn)AODEF對(duì)稱(chēng)中心的直線(xiàn)平分ODEF的面積.

          當(dāng)P1,0)時(shí),

          點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,2),又D0,2),

          設(shè)對(duì)角線(xiàn)DF的中點(diǎn)為G,則G2).

          設(shè)直線(xiàn)AG的解析式為y=kx+b,將A﹣10),G,2)坐標(biāo)代入得:

          ,

          解得k=b=,

          所求直線(xiàn)的解析式為:y=x+;

          當(dāng)P,0)時(shí),

          點(diǎn)F坐標(biāo)為(21),又D02),

          設(shè)對(duì)角線(xiàn)DF的中點(diǎn)為G,則G1,).

          設(shè)直線(xiàn)AG的解析式為y=kx+b,將A﹣1,0),G1,)坐標(biāo)代入得:

          ,

          解得k=b=,

          所求直線(xiàn)的解析式為:y=x+

          綜上所述,所求直線(xiàn)的解析式為:y=x+y=x+

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