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        1. 【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3x軸相交于點A﹣10)、B3,0),與y軸相交于點C,點P為線段OB上的動點(不與O、B重合),過點P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點E、F,點Dy軸正半軸上,OD=2,連接DE、OF

          1)求拋物線的解析式;

          2)當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時,求點P的坐標(biāo);

          3)過點A的直線將(2)中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分,求這條直線的解析式.(不必說明平分平行四邊形面積的理由)

          【答案】1y=﹣x2+2x+321,0)或(2,0).3y=x+y=x+

          【解析】

          試題分析:1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

          2)平行四邊形的對邊相等,因此EF=OD=2,據(jù)此列方程求出點P的坐標(biāo);

          3)本問利用中心對稱的性質(zhì)求解.平行四邊形是中心對稱圖形,其對稱中心為兩條對角線的交點(或?qū)蔷的中點),過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積,因此過點AODEF對稱中心的直線平分ODEF的面積.

          解:(1A﹣1,0)、B3,0)在拋物線y=ax2+bx+3上,

          解得a=﹣1,b=2

          拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3

          2)在拋物線解析式y=﹣x2+2x+3中,令x=0,得y=3,

          C03).

          設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將B30),C0,3)坐標(biāo)代入得:

          ,

          解得k=﹣1b=3,

          y=﹣x+3

          設(shè)E點坐標(biāo)為(x,﹣x2+2x+3),則Px,0),Fx,﹣x+3),

          EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣﹣x+3=﹣x2+3x

          四邊形ODEF是平行四邊形,

          EF=OD=2,

          ﹣x2+3x=2,即x2﹣3x+2=0,

          解得x=1x=2,

          P點坐標(biāo)為(1,0)或(2,0).

          3)平行四邊形是中心對稱圖形,其對稱中心為兩條對角線的交點(或?qū)蔷的中點),過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積,因此過點AODEF對稱中心的直線平分ODEF的面積.

          當(dāng)P1,0)時,

          F坐標(biāo)為(12),又D0,2),

          設(shè)對角線DF的中點為G,則G,2).

          設(shè)直線AG的解析式為y=kx+b,將A﹣1,0),G2)坐標(biāo)代入得:

          ,

          解得k=b=,

          所求直線的解析式為:y=x+

          當(dāng)P,0)時,

          F坐標(biāo)為(2,1),又D0,2),

          設(shè)對角線DF的中點為G,則G1,).

          設(shè)直線AG的解析式為y=kx+b,將A﹣1,0),G1)坐標(biāo)代入得:

          解得k=b=,

          所求直線的解析式為:y=x+

          綜上所述,所求直線的解析式為:y=x+y=x+

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