Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=67.5°，△ABD和△ABC關(guān)于AB所在的直線對(duì)稱，點(diǎn)M為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（重合），點(diǎn)M關(guān)于AB所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，△CMN的面積為S．

（1）求∠CAD的度數(shù)；

（2）設(shè)CM=x，求S與x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)S的值最大？

（3）S的值最大時(shí)，過點(diǎn)C作EC⊥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接EN（如圖2），P為線段EN上一點(diǎn)，Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件NP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）∠CAD=90°；（2）S=﹣x2+2x，當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值．（3）2或2或．

【解析】分析：(1)由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAC，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)求∠CAD；(2)AM＝4－x，又△AMN是等腰直角三角形，由三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；(3)用勾股定理求出AE，AO，ON，OE，EN的長(zhǎng)，因?yàn)辄c(diǎn)M，N不動(dòng)，點(diǎn)P，Q是動(dòng)點(diǎn)，所以需要分三種情況討論，分別畫出每一種情況的圖形，根據(jù)圖形求解.

詳解：(1)∵AB＝AC，∠ABC＝67.5°，

∴∠ACB＝∠ABC＝67.5°，∴∠CAB＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，

∵△ABD和△ABC關(guān)于AB所在的直線對(duì)稱，

∴∠DAB＝∠CAB＝45°，

∴∠CAD＝45°＋45°＝90°．

(2)由(1)知：AN⊥AM，

∵點(diǎn)M.N關(guān)于AB所在直線對(duì)稱，∴AM＝AN，

∵CM＝x，∴AN＝AM＝4﹣x，

∴S＝×CM×AN＝x(4﹣x)，

∴S＝﹣x2＋2x，

∴當(dāng)x＝﹣＝2時(shí)，S有最大值．

(3)∵CE⊥AC，

∴∠ECA＝90°，∵∠CAB＝45°，

∴∠CEA＝∠EAC＝45°，∴CE＝AC＝4，

在Rt△ECA中，AC＝EC＝4，由勾股定理得：EA＝，

∵AM＝AN，∠CAB＝∠DAB，∴AO⊥MN，MO＝NO，

在Rt△MAN中，AM＝AN＝4﹣2＝2，由勾股定理得：MN＝，

∴MO＝NO＝，

由勾股定理得：AO＝，

∴EO＝4﹣，

在Rt△EON中，EO＝，NO＝，

由勾股定理得：EN＝，

分為三種情況：①當(dāng)以MN為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)P在E上，即NP＝NE＝；

②以MN為一邊時(shí)，以N為圓心，以MN為半徑畫弧交NE于P，

此時(shí)NP＝MN＝；

③以MN為一邊時(shí)，

過M作MZ⊥NE于Z，則PZ＝NZ，

∵AE⊥MN，∴∠EON＝∠MZN＝90°，

∵∠ENO＝∠MNZ，∴△ENO∽△MNZ，

∴，∴，

∴ZN＝，∴NP＝2ZN＝.

即所有滿足條件NP的長(zhǎng)是或或．