Question

【題目】定義：當點P在射線OA上時，把的的值叫做點P在射線OA上的射影值；當點P不在射線OA上時，把射線OA上與點P最近點的射影值，叫做點P在射線OA上的射影值．

例如：如圖1，△OAB三個頂點均在格點上，BP是OA邊上的高，則點P和點B在射線OA上的射影值均為＝．

（1）在△OAB中，

①點B在射線OA上的射影值小于1時，則△OAB是銳角三角形；

②點B在射線OA上的射影值等于1時，則△OAB是直角三角形；

③點B在射線OA上的射影值大于1時，則△OAB是鈍角三角形．

其中真命題有　 　．

A．①②B．①③C．②③D．①②③

（2）已知：點C是射線OA上一點，CA＝OA＝1，以〇為圓心，OA為半徑畫圓，點B是⊙O上任意點．

①如圖2，若點B在射線OA上的射影值為．求證：直線BC是⊙O的切線；

②如圖3，已知D為線段BC的中點，設(shè)點D在射線OA上的射影值為x，點D在射線OB上的射影值為y，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為　 　．

Answer 1

【答案】（1）B；（2）①證明見解析；②y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）．

【解析】

（1）根據(jù)射影值的定義一一判斷即可．

（2）①根據(jù)兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似，可得△BOH∽△COB，由相似三角形的性質(zhì)可得∠BHO＝∠CBO＝90°，根據(jù)切線的判定定理可得答案；

②圖形是上下對稱的，只考慮B在直線OC上及OC上方部分的情形．分兩種情況考慮：當∠DOB＜90°時；當∠BOD＝90°時．

解：（1）①錯誤．點B在射線OA上的射影值小于1時，∠OBA可以是鈍角，故△OAB不一定是銳角三角形；

②正確．點B在射線OA上的射影值等于1時，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形；

③正確．點B在射線OA上的射影值大于1時，∠OAB是鈍角，故△OAB是鈍角三角形；

故答案為：B．

（2）①如圖2，作BH⊥OC于點H，

∵點B在射線OA上的射影值為，

∴＝，＝，CA＝OA＝OB＝1，

∴＝，

又∵∠BOH＝∠COB，

∴△BOH∽△COB，

∴∠BHO＝∠CBO＝90°，

∴BC⊥OB，

∴直線BC是⊙O的切線；

②圖形是上下對稱的，只考慮B在直線OC上及OC上方部分的情形．過點D作DM⊥OC，作DN⊥OB，

當∠DOB＜90°時，設(shè)DM＝h，

∵D為線段BC的中點，

∴S△OBD＝S△ODC，

∴OB×DN＝OC×DM，

∴DN＝2h，

∵在Rt△DON和Rt△DOM中，

OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，

∴4h2+y2＝h2+x2，

∴3h2＝x2﹣y2①，

∵BD2＝CD2，

∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，

①②消去h得：y＝2x﹣．

如圖，當∠BOD＝90°時，過點D作DM⊥OC于點M，

∵D為線段BC的中點，

∴S△OBD＝S△ODC，

∴OB×DO＝OC×DM，

∵CA＝OA＝OB＝1，

∴OD＝2DM，

∴sin∠DOM＝，

∴∠DOM＝30°，

設(shè)DM＝h，則OD＝2h，OM＝h，

∴h2+＝1+4h2，

∴h＝，

∴OM＝，

當點B在OC上時，OD＝，

綜上所述，當≤x≤時，y＝0；當＜x≤時，y＝2x﹣．

故答案為：y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）．