Question

如圖，對稱軸為直線x=

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2

的拋物線經(jīng)過點A（6，0）和B（0，4）．
（1）求拋物線解析式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點E（x，y）是拋物線上位于第四象限內(nèi)一動點，將△OAE繞OA的中點旋轉(zhuǎn)180°，點E落到點F的位置．求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
①當(dāng)四邊形OEAF的面積為24時，請判斷四邊形OEAF的形狀．
②是否存在點E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）若點P是x軸上一點，以P、A、D為頂點作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點在y軸上，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的對稱軸，可將其解析式設(shè)為頂點式，再根據(jù)已知的兩點坐標(biāo)由待定系數(shù)法確定該二次函數(shù)的解析式；進而能得到頂點D的坐標(biāo)．
（2）將△OAE繞線段OA中點旋轉(zhuǎn)180°后，旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形關(guān)于點OA的中點對稱，所以四邊形OEAF是平行四邊形，在求該四邊形的面積時，只需求出它的一半即△OAE的面積即可，以O(shè)A為底、點E的縱坐標(biāo)的絕對值為高即可得到△OAE的面積表達式，則S、x的函數(shù)關(guān)系式可求；
①將S=24代入上面的S、x的函數(shù)關(guān)系式中，先求出點E的坐標(biāo)，再判斷四邊形OEAF的形狀；
②若四邊形OEAF是正方形，那么△OAE必為等腰直角三角形，可據(jù)此求出點E的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
（3）此題需要分兩種情況討論（將平行四邊形的另一頂點稱作點Q）：
①線段PA為對角線時，先求出DQ的中點，再由P、A關(guān)于這個中點對稱來得到點P的坐標(biāo)；
②線段PA為邊時，那么DQ必與PA平行，即點Q、D的縱坐標(biāo)相同，則DQ的長可知，而DQ=PA，可據(jù)此求出點P的坐標(biāo)（注意在點A的左右兩側(cè)各有一個）．

解答：解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-

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2

）²+h，代入A（6，0）、B（0，4）后，得：

a(6- 7 2 )2+h=0 a(0- 7 2 )2+h=4

，解得

a= 2 3 h=- 25 6

∴拋物線的解析式：y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

，頂點D（

7

2

，-

25

6

）．

（2）依題意，知：△OAF≌△AOE，得：OE=AF、AE=OF；
∴四邊形OEAF是平行四邊形．
∵點E（x，y）在拋物線的圖象上，
∴y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

；
又∵點E在第四象限，∴y＜0，解得：1＜x＜6；
S=2S_△OAE=2•

1

2

•OA•|y_E|=6•（-y）=-4（x-

7

2

）²+25，（1＜x＜6）．
①當(dāng)S=24時，-4（x-

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2

）²+25=24，解得 x₁=3、x₂=4；
1、當(dāng)x=3時，E（3，-4），此時OE=AE，四邊形OEAF為菱形；
2、當(dāng)x=4時，E（4，-4），此時OE≠AE，且∠OEA≠90°，∴四邊形OEAF只是平行四邊形．
②假設(shè)四邊形OEAF為正方形，則OE=AE，OE⊥AE，已知O（0，0）、A（6，0），則 E（3，-3）；
但此時的點E不在拋物線的圖象上，因此不存在符合條件的點E．

（3）設(shè)平行四邊形的另一頂點為Q，分兩種情況討論：
①當(dāng)PA為平行四邊形的對角線時，另一條對角線DQ的中點為（

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4

，0），而P、A關(guān)于（

7

4

，0）對稱，那么點P（-

5

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，0）；
②當(dāng)PA為平行四邊形的邊時，DQ∥PA，且PA=QD=

7

2

，已知 A（6，0），則 P（

5

2

，0）或（

19

2

，0）；
綜上，點P的坐標(biāo)為（-

5

2

，0）或（

5

2

，0）或（

19

2

，0）．

點評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形面積的求法以及特殊四邊形的判定等知識；最后一題中，正確判斷出最后一頂點的三種情況是解答題目的關(guān)鍵．