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        1. (本小題滿分7分)如圖,四邊形中,,
          平分,

          小題1:(1)求證:四邊形是菱形;
          小題2:(2)若點的中點,試判斷的形狀,并說明理由.

          小題1:(1),即,又四邊形是平行四邊形.
          (2分)
          平分,,    (3分)
          ,,,
          四邊形是菱形.
          小題2:(2)證法一:中點,
          ,,         (5分)
          ,    (6分)
          ,
          是直角三角形.  (7分)
          證法二:連,則,且平分,    (5分)

          的中點,.(6分)
          ,是直角三角形.
          分析:(1)根據(jù)兩組對邊分別平行證得四邊形AECD是平行四邊形,只需證明四邊形AECD的兩鄰邊相等即可.根據(jù)AC平分∠BAD,以及CE∥AD,易證得∠EAC=∠ECA,由此可知AE=CE,即四邊形AECD是菱形;
          (2)連DE,DE交AC于F,根據(jù)菱形的性質,對角線互相垂直且平分有:DE垂直平分AC,則EF是△ABC的中位線,有EF∥BC,則BC⊥AC,由此可證得△ABC是直角三角形.

          解答:(1)證明:∵AB∥CD,即AE∥CD,
          又∵CE∥AD,∴四邊形AECD是平行四邊形.
          ∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD,
          又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,
          ∴∠ACE=∠CAE,
          ∴AE=CE,
          ∴四邊形AECD是菱形;
          (2)解:△ABC是直角三角形.
          證法一:∵E是AB中點,∴AE=BE.
          又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE,
          ∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,
          ∴2∠BCE+2∠ACE=180°,∴∠BCE+∠ACE=90°.
          即∠ACB=90°,
          ∴△ABC是直角三角形.
          證法二:連DE,由四邊形AECD是菱形,得到DE⊥AC,且平分AC,
          設DE交AC于F,
          ∵E是AB的中點,且F為AC中點,
          ∴EF∥BC.∠AFE=90°,
          ∴∠ACB=∠AFE=90°,
          ∴BC⊥AC,
          ∴△ABC是直角三角形.
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