Question

甲、乙兩玩具廠為擺脫金融危機影響，采取出口轉內銷策略，力爭2011年第一季度控制月利潤下滑趨勢，第二季度實現月利潤回升．措施落實后，兩廠形勢逐漸好轉，訂單量逐月增加．從已有訂單來看，兩廠都預計自2011年起本廠的月利潤y（十萬元）與月份x之間滿足一定的函數關系．甲廠預測的關系：y=

1

8

x2-x+2；乙廠則預測該廠的月利潤與月份也滿足二次函數關系，且圖象形狀與甲廠的相同．又知乙廠預測的該廠前幾個月份的月利潤如圖所示，試根據上述信息解決下列問題：
（1）求乙廠預測的月利潤y（十萬元）與月份x之間的函數關系式；
（2）x為何值時，兩廠的月利潤差距為5萬元？
（3）當兩廠的月利潤差距超過50萬元時，月利潤低的玩具廠被月利潤高的玩具廠收購．如果不考慮其他因素，按上述趨勢，是否會出現收購的情況？如果會，誰被誰收購？何時被收購？如果不會，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據：乙廠則預測該廠的月利潤與月份也滿足二次函數關系，且圖象形狀與甲廠的相同，設乙廠預測的月利潤y（十萬元）與月份x之間的函數關系式為y=

1

8

x²+bx+c，根據圖象，把x=2，y=0.5，x=4，y=1代入求b、c的值，確定乙廠的函數關系式；
（2）分兩種情況：y_甲-y_乙=0.5，y_乙-y_甲=0.5，列方程分別求解；
（3）分兩種情況：①y_乙-y_甲＞5，②y_甲-y_乙＞5，列不等式求x的范圍，作出判斷．

解答：解：（1）設乙廠預測的月利潤y（十萬元）與月份x之間的函數關系式為y=

1

8

x2+bx+c
由上圖可知，取

x=2 y=0.5

，

x=4 y=1

則

1 8 ×22+2b+c=0.5 1 8 ×82+4b+c=0=1

，
解得

b=- 1 2 c=1

．
所以，乙廠預測的月利潤y（十萬元）與月份x之間的函數關系式為y=

1

8

x2-

1

2

x+1；

（2）①若y_甲-y_乙=0.5，則(

1

8

x2-x+2)-(

1

8

x2-

1

2

x+1)=0.5，解得x=1
②若y_乙-y_甲=0.5，則(

1

8

x2-

1

2

x+1)-(

1

8

x2-x+2)=0.5，解得x=3
所以，x=1或3時，兩廠的月利潤差距為5萬元；

（3）①若y_乙-y_甲＞5，即(

1

8

x2-

1

2

x+1)-(

1

8

x2-x+2)＞5，解得x＞12
②y_甲-y_乙＞5，即(

1

8

x2-x+2)-(

1

8

x2-

1

2

x+1)＞5，解得x＜-8（不合）
所以，會出現收購的情況，12個月后（或一年后或第13個月），甲廠會被乙廠收購．

點評：本題考查了二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．