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        1. 閱讀下列范例,按要求解答問題.
          例:已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+2c=1,a2+b2+6c+
          3
          2
          =0,求a、b、c的值.
          解法1:由已知得a+b=1-2c,①(a+b)2-2ab+6c+
          3
          2
          =0.②
          將①代入②,整理得4c2+2c-2ab+
          5
          2
          =0.∴ab=2c2+c+
          5
          4

          由①、③可知,a、b是關(guān)于t的方程t2-(1-2c)t+2c2+c+
          5
          4
          =0④的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
          ∴△=(1-2c)2-4(2c2+c+
          5
          4
          ≥0,即(c+1)2≤0.而(c+1)2≥0,∴c+l=0,c=-1,
          將c=-1代入④,得t2-3t+
          9
          4
          =0.∴t1=t2=
          3
          2
          ,即a=b=
          3
          2
          .∴a=b,c=-1.
          解法2∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c、設(shè)a=
          1-2c
          2
          +t,b=
          1-2c
          2
          -t.①
          ∵a2+b2+6c+
          3
          2
          =0,∴(a+b)2-2ab+6c+
          3
          2
          =0.②
          將①代入②,得(1-2c)2-2(
          1-2c
          2
          +t)(
          1-2c
          2
          -t)
          +6c+
          3
          2
          =0.
          整理,得t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0.∴t=0,c=-1.
          將t、c的值同時(shí)代入①,得a=
          3
          2
          ,b=
          3
          2
          .a(chǎn)=b=
          3
          2
          ,c=-1.
          以上解法1是構(gòu)造一元二次方程解決問題.若兩實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=m,xy=n,則x、y是關(guān)于t的一元二次方程t2-mt+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,然后利用判別式求解.
          以上解法2是采用均值換元解決問題.若實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=m,則可設(shè)x=
          m
          2
          +t,y=
          m
          2
          -t.一些問題根據(jù)條件,若合理運(yùn)用這種換元技巧,則能使問題順利解決.
          下面給出兩個(gè)問題,解答其中任意一題:
          (1)用另一種方法解答范例中的問題.
          (2)選用范例中的一種方法解答下列問題:
          已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求證:a=b=c.
          分析:(1)此題可以利用方程組的知識(shí)建立起a與b之間的關(guān)系,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答;
          (2)利用換元法構(gòu)造一元二次方程,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系解答.
          解答:(1)解:由已知等式消去c,得a2+b2+3(1-a-b)+
          3
          2
          =0,即a2+b2-3a-3b+
          9
          2
          =0,
          ∴(a-
          3
          2
          2+(b-
          3
          2
          2=0,
          故a=
          3
          2
          ,b=
          3
          2
          ,
          于是由a+b+2c=1,得c=-1,
          故a=b=
          3
          2
          ,c=-1;

          (2)證明:由已知得a+b=6-c ①
          (a+b)2+c2-2ab=12 ②
          將①代入②得(6-c)2+c2-2ab=12,
          ∴ab=c2-6c+12 ③
          由①③可知,a、b是關(guān)于t的方程t2-(6-c)t+c2-6c+12=0 ④的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
          ∴△=(6-c)2-4(c2-6c+12)≥0,
          化簡(jiǎn)得(c-2)2≤0,
          而(c-2)2≥0,
          ∴c=2.
          將c=2代入④,
          解得t1=t2=2,
          ∴a=b=2,
          ∴a=b=c.
          點(diǎn)評(píng):此題是一道材料分析題,給出了解題的范例,考查了利用換元法根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程,還涉及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容,需要認(rèn)真對(duì)待.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          閱讀下列范例,按要求解答問題.
          例:已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足:a+b+2c=1,a2+b2+6c+
          3
          2
          =0
          ,求a,b,c的值.
          解:∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c,
          設(shè)a=
          1-2c
          2
          +t,b=
          1-2c
          2
          -t

          a2+b2+6c+
          3
          2
          =0

          將①代入②得:(
          1-2c
          2
          +t)2+(
          1-2c
          2
          -t)2+6c+
          3
          2
          =0

          整理得:t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0,∴t=0,c=-1
          將t,c的值同時(shí)代入①得:a=
          3
          2
          ,b=
          3
          2
          .∴a=b=
          3
          2
          ,c=-1

          以上解法是采用“均值換元”解決問題.一般地,若實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=m,則可設(shè)x=
          m
          2
          +t,y=
          m
          2
          -t
          ,合理運(yùn)用這種換元技巧,可順利解決一些問題.現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)上述方法試解決下面問題:
          已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足:a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求a,b,c的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:藁城市一模 題型:解答題

          閱讀下列范例,按要求解答問題.
          例:已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足:a+b+2c=1,a2+b2+6c+
          3
          2
          =0
          ,求a,b,c的值.
          ∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c,
          設(shè)a=
          1-2c
          2
          +t,b=
          1-2c
          2
          -t

          a2+b2+6c+
          3
          2
          =0

          將①代入②得:(
          1-2c
          2
          +t)2+(
          1-2c
          2
          -t)2+6c+
          3
          2
          =0

          整理得:t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0,∴t=0,c=-1
          將t,c的值同時(shí)代入①得:a=
          3
          2
          ,b=
          3
          2
          .∴a=b=
          3
          2
          ,c=-1

          以上解法是采用“均值換元”解決問題.一般地,若實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=m,則可設(shè)x=
          m
          2
          +t,y=
          m
          2
          -t
          ,合理運(yùn)用這種換元技巧,可順利解決一些問題.現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)上述方法試解決下面問題:
          已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足:a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求a,b,c的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年河北省石家莊市藁城市中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

          閱讀下列范例,按要求解答問題.
          例:已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足:,求a,b,c的值.
          解:∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c,
          設(shè)

          將①代入②得:
          整理得:t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0,∴t=0,c=-1
          將t,c的值同時(shí)代入①得:.∴
          以上解法是采用“均值換元”解決問題.一般地,若實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=m,則可設(shè),合理運(yùn)用這種換元技巧,可順利解決一些問題.現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)上述方法試解決下面問題:
          已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足:a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求a,b,c的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2002年湖北省荊門市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          (2002•荊門)閱讀下列范例,按要求解答問題.
          例:已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+2c=1,a2+b2+6c+=0,求a、b、c的值.
          解法1:由已知得a+b=1-2c,①(a+b)2-2ab+6c+=0.②
          將①代入②,整理得4c2+2c-2ab+=0.∴ab=2c2+c+
          由①、③可知,a、b是關(guān)于t的方程t2-(1-2c)t+2c2+c+=0④的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
          ∴△=(1-2c)2-4(2c2+c+≥0,即(c+1)2≤0.而(c+1)2≥0,∴c+l=0,c=-1,
          將c=-1代入④,得t2-3t+=0.∴t1=t2=,即a=b=.∴a=b,c=-1.
          解法2∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c、設(shè)a=+t,b=-t.①
          ∵a2+b2+6c+=0,∴(a+b)2-2ab+6c+=0.②
          將①代入②,得(1-2c)2-2+6c+=0.
          整理,得t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0.∴t=0,c=-1.
          將t、c的值同時(shí)代入①,得a=,b=.a(chǎn)=b=,c=-1.
          以上解法1是構(gòu)造一元二次方程解決問題.若兩實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=m,xy=n,則x、y是關(guān)于t的一元二次方程t2-mt+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,然后利用判別式求解.
          以上解法2是采用均值換元解決問題.若實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=m,則可設(shè)x=+t,y=-t.一些問題根據(jù)條件,若合理運(yùn)用這種換元技巧,則能使問題順利解決.
          下面給出兩個(gè)問題,解答其中任意一題:
          (1)用另一種方法解答范例中的問題.
          (2)選用范例中的一種方法解答下列問題:
          已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求證:a=b=c.

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