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        1. (2009•白云區(qū)一模)如圖,直線AM∥BN,AE、BE分別平分∠MAB、∠NBA.
          (1)∠AEB的度數(shù)為_(kāi)_____;
          (2)請(qǐng)證明(1)中你所給出的結(jié)論;
          (3)過(guò)點(diǎn)E任作一線段CD,使CD交直線AM于點(diǎn)D,交直線BN于點(diǎn)C,線段AD、BC、AB三者間有何等量關(guān)系?試證明你的結(jié)論.

          【答案】分析:(1)應(yīng)先判斷出和∠E組成的三角形的其余兩個(gè)角的度數(shù)之和,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠AEB的度數(shù);
          (2)根據(jù)平行得到同旁內(nèi)角的關(guān)系,以及角平分線的定義推出和∠E組成的三角形的其余兩個(gè)角的度數(shù)之和;
          (3)應(yīng)從點(diǎn)D和點(diǎn)C的不同位置入手,分情況進(jìn)行討論.
          解答:(1)解:90°;

          (2)證明:如圖,
          ∵AE、BE分別平分∠NBA、∠MAB,
          ∴∠1=∠2,∠3=∠4,
          又∵AM∥BN,
          ∴∠MAB+∠NBA=180°,
          即∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
          ∠1+∠1+∠3+∠3=180°,
          ∴2(∠1+∠3)=180°,
          ∠1+∠3=90°,
          從而∠AEB=180°-(∠1+∠3)=90°;

          (3)解:①當(dāng)點(diǎn)D在射線AM的反向延長(zhǎng)線上、點(diǎn)C在射線BN上時(shí)(如圖),
          線段AD、BC、AB三者間的關(guān)系為:
          BC=AB+AD.
          證法一:延長(zhǎng)AE交BN于點(diǎn)F.
          ∵AM∥BN,
          ∴∠4=∠AFB,
          又∠3=∠4,
          ∴∠AFB=∠3,
          ∴BF=BA(等角對(duì)等邊),
          即△BAF為等腰三角形.
          由(1)∠AEB=90°知BE⊥AF,
          即BE為等腰△BAF底邊AF上的高,
          由“三線合一”定理,得AE=EF.
          由AM∥BN得∠ADE=∠FCE,
          又∠AED=∠FEC,
          ∴△ADE≌△FCE,
          ∴AD=FC,
          BC=BF+FC及BF=AB、FC=AD
          得BC=AB+AD
          (特殊情況:點(diǎn)D與A點(diǎn)重合時(shí),C點(diǎn)即是上圖的F點(diǎn),
          AD=0,BC=BF,由上述證明過(guò)程知,仍有BC=AB+AD);
          ②當(dāng)點(diǎn)D在射線AM上,點(diǎn)C在射線BN上時(shí)(如圖),
          線段AD、BC、AB三者間的關(guān)系為:AB=AD+BC.
          證明如下:
          由①的證明可知,若延長(zhǎng)AE交BN于點(diǎn)F,則AE=EF,
          即E為AF的中點(diǎn),易證△AED≌△FEC,
          ∴AD=CF,
          由①知,△ABF為等腰三角形,AB=BF=BC+CF,
          即AB=AD+BC;

          ③當(dāng)點(diǎn)D在射線AM上,點(diǎn)C在射線BN的反向延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖),
          線段AD、BC、AB三者間的關(guān)系為:
          AD=AB+BC.
          證明如下:延長(zhǎng)BE交AM于點(diǎn)F,
          ∵AM∥BN,
          ∴∠2=∠AFB,
          又∵∠1=∠2,
          ∴∠1=∠AFB,
          ∴AF=AB.
          ∵∠AEB=90°,即AE為等腰△ABF底邊BF上的高,
          ∴BE=FE(“三線合一”定理),易證△EBC≌△EFD,
          ∴BC=FD.
          從而AD=AF+FD=AB+BC.
          (特殊情況:當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí),由上述證明過(guò)程知,上式也成立)
          點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì);本題需注意多種情況的分析,利用全等來(lái)得到各線段之間的等量關(guān)系.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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