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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A(10,0),以OA為直徑在第一象限內作半圓C,點B是該半圓周上一動點,連接OB、AB,并延長AB至點D,使DB=AB,過點D作x軸垂線,分別交x軸、直線OB于點E、F,點E為垂足,連接CF.
          (1)當∠AOB=30°時,求弧AB的長度;
          (2)當DE=8時,求線段EF的長;
          (3)在點B運動過程中,是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,請求出此時點E的坐標;若不存在,請說明理由.

          【答案】
          (1)解:連接BC,

          ∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,

          ∵∠AOB=30°,

          ∴∠ACB=2∠AOB=60°,

          ∴弧AB的長=


          (2)解:①若D在第一象限,

          連接OD,

          ∵OA是⊙C直徑,

          ∴∠OBA=90°,

          又∵AB=BD,

          ∴OB是AD的垂直平分線,

          ∴OD=OA=10,

          在Rt△ODE中,

          OE= =

          ∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4,

          由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB,∠OEF=∠DEA,

          得△OEF∽△DEA,

          ,即

          ∴EF=3;

          ②若D在第二象限,

          連接OD,

          ∵OA是⊙C直徑,

          ∴∠OBA=90°,

          又∵AB=BD,

          ∴OB是AD的垂直平分線,

          ∴OD=OA=10,

          在Rt△ODE中,

          OE= = ,

          ∴AE=AO+OE=10+6=16,

          由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB,∠OEF=∠DEA,

          得△OEF∽△DEA,

          ,即 =

          ∴EF=12;

          ∴EF=3或12;


          (3)解:設OE=x,

          ①當交點E在O,C之間時,由以點E、C、F為頂點的三角

          形與△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,

          當∠ECF=∠BOA時,此時△OCF為等腰三角形,點E為OC

          中點,即OE= ,

          ∴E1 ,0);

          當∠ECF=∠OAB時,有CE=5﹣x,AE=10﹣x,

          ∴CF∥AB,有CF= ,

          ∵△ECF∽△EAD,

          ,即 ,解得: ,

          ∴E2 ,0);

          ②當交點E在點C的右側時,

          ∵∠ECF>∠BOA,

          ∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,

          連接BE,

          ∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線,

          ∴BE=AB=BD,

          ∴∠BEA=∠BAO,

          ∴∠BEA=∠ECF,

          ∴CF∥BE,

          ,

          ∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°,

          ∴△CEF∽△AED,

          ,

          而AD=2BE,

          ,解得 <0(舍去),

          ∴E3 ,0);

          ③當交點E在點O的左側時,

          ∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.

          ∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO

          連接BE,得BE= =AB,∠BEA=∠BAO

          ∴∠ECF=∠BEA,

          ∴CF∥BE,

          又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°,

          ∴△CEF∽△AED,

          而AD=2BE,

          ,

          解得x1= ,x2= (舍去),

          ∵點E在x軸負半軸上,

          ∴E4 ,0),

          綜上所述:存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,

          此時點E坐標為:E1 ,0)、E2 ,0)、E3 ,0)、E4 ,0).


          【解析】(1)連接BC,由已知得∠ACB=2∠AOB=60°,AC= AO=5,根據(jù)弧長公式求解;(2)連接OD,由垂直平分線的性質得OD=OA=10,又DE=8,在Rt△ODE中,由勾股定理求OE,依題意證明△OEF∽△DEA,利用相似比求EF;(3)存在.當以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似時,分為①當交點E在O,C之間時,由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,②當交點E在點C的右側時,要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,③當交點E在點O的左側時,要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,三種情況,分別求E點坐標.

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          行駛時間t/h

          余油量Q/L

          1

          42

          2

          34

          3

          26

          4

          18

          5

          10

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          (3)(﹣1)﹣1+(﹣ )﹣3﹣(﹣1

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          =1﹣

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          (2)構建模型

             .(n為正整數(shù))

          (3)拓展應用:

             

             

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          A.r
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          C.2r
          D. ?r

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