Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣bx+c交x軸于點A（1，0），交y軸于點B，對稱軸是x=2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使△PAB的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）P的坐標為：（2，1）．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線經過點A（1，0），對稱軸是x=2列出方程組，解方程組求出b、c的值即可；

（2）因為點A與點C關于x=2對稱，根據軸對稱的性質，連接BC與x=2交于點P，則點P即為所求，求出直線BC與x=2的交點即可．

解：（1）由題意得，，

解得b=4，c=3，

∴拋物線的解析式為．y=x2﹣4x+3；

（2）∵點A與點C關于x=2對稱，

∴連接BC與x=2交于點P，則點P即為所求，

根據拋物線的對稱性可知，點C的坐標為（3，0），

y=x2﹣4x+3與y軸的交點為（0，3），

∴設直線BC的解析式為：y=kx+b，

，

解得，k=﹣1，b=3，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3，

則直線BC與x=2的交點坐標為：（2，1）

∴點P的坐標為：（2，1）．