Question

“三聚氰胺事件”對(duì)奶制品行業(yè)影響很大．為應(yīng)對(duì)該事件對(duì)行業(yè)的沖擊，某品牌奶糖生產(chǎn)企業(yè)研制出甲、乙兩種新配方奶糖，已試銷近三個(gè)月、已知這兩種奶糖的成本價(jià)相同，售價(jià)也相同（售價(jià)不低于成本價(jià)）、為了解銷售情況，營(yíng)銷人員進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)查，并對(duì)某區(qū)域的銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩種配方奶糖的日銷量Q_甲、Q_乙（千克）與它們的售價(jià)x（元/千克）之間均具有一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)見(jiàn)右表．又知當(dāng)售價(jià)為25元時(shí)，甲種配方奶糖的日銷售利潤(rùn)為450元．[注：日銷售利潤(rùn)=（銷售價(jià)-成本價(jià)）×日銷售量．]

X	…．	25	30	…．
Q甲	…．	90	75	…．
Q乙	…．	85	75	…

（1）根據(jù)上述信息，研究人員求出Q_乙=-2x+135．請(qǐng)你求出Q_甲關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（2）求甲種配方奶糖的日銷售利潤(rùn)W_乙（元）關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)上述信息，試分析當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，該區(qū)域甲、乙兩種配方奶糖的日銷售利潤(rùn)之和最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)解析式，由圖表數(shù)據(jù)可求得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)甲種配方奶糖日銷售利潤(rùn)=（銷售價(jià)-成本價(jià)）×日銷售量，求出解析式；（3）將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，從而求出最大利潤(rùn)．

解答：解：（1）設(shè)Q_甲關(guān)于x的函數(shù)解析式為Q_甲=kx+b（k≠0）
根據(jù)題意當(dāng)x=25時(shí)，Q_甲=90；當(dāng)x=30時(shí)，Q_甲=75
∴25k+b=90
30k+b=75，
解得：k=-3，b=165，
∴Q_甲=-3x+165，
∵當(dāng)x=25時(shí)，甲種奶糖的日銷售利潤(rùn)為450元
∴甲種奶糖的成本價(jià)為

90×25-450

90

=20（元/千克）
又-3x+165≥0
故x≤55，
∴函數(shù)定義域?yàn)椋?0≤x≤55；

（2）由題意，日銷售利潤(rùn)=（銷售價(jià)-成本價(jià)）×日銷售量
∴w_甲=（x-20）（-3x+165）
=-3x²+225x-3300；

（3）甲、乙兩種奶糖日銷售利潤(rùn)之和s=w_甲+w_乙
=（x-20）（-3x+165）+（x-20）（-2x+135）
=-5（x-40）²+2000（2分）
∴當(dāng)x=40時(shí)，利潤(rùn)之和最大，利潤(rùn)之和為2000元．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，由圖表數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，最后將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，從而來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，比較復(fù)雜．