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        1. 已知等邊△ABC邊長(zhǎng)為a,D、E分別為AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn),且在運(yùn)動(dòng)時(shí)保持DEBC,如圖(1),⊙O1與⊙O2都不在△ABC的外部,且⊙O1、⊙O2分別與∠B和∠C的兩邊及DE都相切,其中和DE、BC的切點(diǎn)分別為M、N、M′、N′.
          (1)求證:⊙O1和⊙O2是等圓;
          (2)設(shè)⊙O1的半徑長(zhǎng)為x,圓心距O1O2為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
          (3)當(dāng)⊙O1與⊙O2外切時(shí),求x的值;
          (4)如圖(2),當(dāng)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)時(shí),將⊙O2先向左平移至和⊙O1重合,然后將重合后的圓沿著△ABC內(nèi)各邊按圖(2)中箭頭的方向進(jìn)行滾動(dòng),且總是與△ABC的邊相切,當(dāng)點(diǎn)O1第一次回到它原來的位置時(shí),求點(diǎn)O1經(jīng)過的路線長(zhǎng)度?
          (1)連接MM′、NN′.
          ∵DE和BC是⊙O1的切線,DEBC,
          ∴MM′過點(diǎn)O1.同理NN'過點(diǎn)O2.∵M(jìn)M′⊥BC,MM′⊥DE,NN′⊥BC
          ∴四邊形MM′N′N是矩形.
          ∴MM′=NN′,即⊙O1和⊙O2是等圓;

          (2)連接OlB,OlO2,O2C,OlM′,O2N′.
          易證四邊形O1BCO2是等腰梯形,四邊形O1M′N′O2是矩形.
          在Rt△O1BM′中,∠01BM′=30°,OlM′=x,
          則BM′=
          3
          x.
          ∵y=O102=M′N′,BM′=N′C=
          3
          x,BC=BM′+M′N′+N′C,
          ∴y+2
          3
          =a,
          ∴y=a-2
          3
          x,
          求得0<x≤
          3
          6
          a
          ;

          (3)當(dāng)⊙Ol和⊙O2外切時(shí),OlO2=2x,2x=a-2
          3
          x,
          ∴x=(
          3
          -1)
          a
          4
          ;

          (4)當(dāng)DE是△ABC的中位線時(shí),求得x=
          3
          8
          a

          此時(shí)BM'=
          3
          x=
          3
          8
          a.
          ⊙O1的圓心O1所經(jīng)過的路線是與△ABC相似,且各邊與△ABC各邊距離為
          3
          8
          a
          的正三角形.
          其邊長(zhǎng)為a-
          3
          8
          a×2=
          a
          4

          ∴所求的圓心O1走過的長(zhǎng)度為:
          a
          4
          ×3=
          3
          4
          a.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P,AB是兩圓外公切線,A、B為切點(diǎn),AB與O1O2的延長(zhǎng)線交于C點(diǎn),在AP延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E,滿足
          AP
          AB
          =
          AC
          AE
          ,PE交⊙O2于D.
          (1)求證:AC⊥EC;
          (2)求證:PC=EC;
          (3)若AP=4,PD=
          9
          4
          ,求
          BC
          EC
          的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          如圖,⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),AC是⊙O2的切線,AD是⊙O1的切線,若BC=4,BD=9,則AB的長(zhǎng)為(  )
          A.5B.6C.7D.8

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          已知兩個(gè)圓的半徑分別為2和7,兩個(gè)圓的圓心之間的距離是5,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是______.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,紙上畫了四個(gè)大小一樣的圓,圓心分別是A,B,C,D,直線m通過A,B,直線n通過C,D,用S表示一個(gè)圓的面積,如果四個(gè)圓在紙上蓋住的總面積是5(S-1),直線m,n之間被圓蓋住的面積是8,陰影部分的面積S1,S2,S3滿足關(guān)系式S3=
          1
          3
          S1=
          1
          3
          S2,求S.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          閱讀下面的數(shù)學(xué)課堂的片段,回答下面的問題.
          在學(xué)習(xí)兩圓位置關(guān)系的時(shí)候,王老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論以下問題,“已知兩圓相交于A、B兩點(diǎn),AB的長(zhǎng)是6cm,大圓的半徑為5cm,小圓的半徑為
          13
          cm,那么兩圓的圓心距是多少”?同學(xué)們思考片刻,王平同學(xué)舉手回答:“兩圓的圓心距長(zhǎng)是6cm”;李偉同學(xué)回答:“兩圓的圓心距長(zhǎng)是2cm”.還有一些同學(xué)提出了不同看法…
          ①假如你是王平、李偉的同學(xué),你對(duì)他倆的回答有何意見?認(rèn)為那位說得對(duì),請(qǐng)說出理由;若認(rèn)為不對(duì),請(qǐng)你畫出圖形,將正確的解答過程寫出來.
          ②通過這個(gè)問題你有何感受?(請(qǐng)用一句話表示.)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          兩圓相切,且圓心距為4cm,其中一圓的半徑為3cm,則另一圓的半徑是______cm.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          半徑分別為1cm,2cm,3cm的三圓兩兩外切,則以這三個(gè)圓的圓心為頂點(diǎn)的三角形的形狀為______.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          相交兩圓的公共弦長(zhǎng)為16cm,若兩圓的半徑長(zhǎng)分別為10cm和17cm,則這兩圓的圓心距為______.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案