Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（x，y），如果點(diǎn)Q（x，y′）的縱坐標(biāo)滿足y′= ，那么稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
（1）請直接寫出點(diǎn)（3，5）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)P在函數(shù)y=x﹣2的圖象上，其“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q與點(diǎn)P重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)M（m，n）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N在函數(shù)y=2x2的圖象上，當(dāng)0≤m≤2時，求線段MN的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）（3，2）
（2）

解：∵點(diǎn)P在函數(shù)y=x﹣2的圖象上，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x﹣2）．

∵x＞x﹣2，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，2）．

又∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，

∴x﹣2=2，解得x=4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，2）；

（3）

解：點(diǎn)M（m，n）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N，由關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，得

第一種情況：當(dāng)m≥n時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m﹣n），

∵N在函數(shù)y=2x2的圖象上，

∴m﹣n=2m2，n=﹣2m2+m，即yM=﹣2m2+m，yN=2m2，

∴MN=|yM﹣yN|=|﹣4m2+m|，

①當(dāng)0≤m≤ ，﹣4m2+m＞0，

MN=﹣4m2+m=﹣4（m﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)m= 時，線段MN的最大值是 ；

②當(dāng) ＜m≤2時，﹣4m2+m＜0，

MN=4m2﹣m=4（m﹣ ）2﹣ ，當(dāng)m=2時，線段MN的最大值是14；

第二種情況：當(dāng)m＜n時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，n﹣m），

∵N在函數(shù)y=2x2的圖象上，

∴n﹣m=2m2，即n=2m2+m，

∴yM=2m2+m，yN=2m2，

∴MN=|yM﹣yN|=|m|，

∵0≤m≤2，

∴MN=m，

∴當(dāng)m=2時，線段MN的最大值是2；

綜上所述：當(dāng)m≥n時，線段MN的最大值是14；當(dāng)m＜n時，線段MN的最大值是2．

【解析】（1）∵3＜5，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，
∴y′=5﹣3=2，
點(diǎn)（3，5）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)（3，2），
所以答案是：（3，2）；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�