Question

一次函數(shù)y=-2x+6與x軸交于A點，與y軸交于B點，點C的坐標為（2，0）．M（0，m）在B點的下方，以M為圓心，以MC為半徑畫圓．
（1）求出A，B點的坐標；
（2）若圓M與直線AB相切，求m的值；
（3）設圓M與直線AB相切時的圓心分別為M₁、M₂，求證：M₁C與M₂圓相切．若圓M與直線AB相交，求m的取值范圍．（不用寫出理由，只要寫出結論）

Answer 1

分析：（1）利用一次函數(shù)與y軸相交，即x=0時，y=6，與x軸相交，即當y=0時，x=3，即可得出答案；
（2）利用過M作ME⊥AB，那么，△BME∽△BAO，即得出比例式，再利用勾股定理可求出m的值；
（3）利用M₁O•M₂O=OC²，以及∠M₁OC=∠COM₂，得出△COM₁∽△M₂CO，即可得出M₁C與M₂圓相切進而求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-2x+6，x=0時，y=6，當y=0時，x=3，
  所以一次函數(shù)y=-2x+6的圖象與x軸的交點A（3，0），與y軸交點B（0，6）
∴A，B點的坐標為：A（3，0），B（0，6）；

（2）根據(jù)圓心到直線的距離等于圓的半徑這個切線的定義列方程．
過M作ME⊥AB，那么，
△BME∽△BAO，
∴

ME

BM

=

AO

AB

，

ME

6-m

=

3

3 5

，
∴ME=

6-m

5

在Rt△MOC中，由勾股定理得：
MC=

m2+4

，
∴

6-m

5

=

m2+4

解得m=1或m=-4．
∴m的值為：1或-4；

（3）∵M₁O•M₂O=OC²，
∠M₁OC=∠COM₂，
∴△COM₁∽△M₂CO，
即：∠M₁CO=∠CM₂O，
∴∠M₁CO+∠OCM₂=90°，
∴M₁ C⊥M₂C．
∴M₁C與圓M₂相切．
若圓M與直線AB相交：1＜m＜6或m＜-4．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)綜合應用以及相似三角形的判定與性質等知識，相似三角形的判定與性質經(jīng)常與一次函數(shù)綜合應用，同學們應借助數(shù)形結合，得出三角形相似是解決問題的關鍵．