Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長為，是邊上一點，，將，分別沿折痕，向內折疊，點，在點處重合，過點作，交的延長線于.則下列結論正確的有（ ）

①；②為等腰直角三角形；③點是的中點；④.

A.個B.個C.個D.個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由折疊性質易得，∠EAF=45°，結合，可判斷②，設DF=x，利用折疊性質可得GF=x，在Rt△ECF中，利用勾股定理建立方程可求出x=，然后可判斷③正確，由邊長比例關系，可判斷①，在等腰直角△AEH中，計算出AH，減去AF即可得FH，從而判斷④.

由折疊的性質可得，

∠BAE=∠EAG，∠GAF=∠FAD，

∵∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠EAG+∠GAF+∠FAD=90°，

∴2（∠EAG+∠GAF）=90°，

即∠EAF=45°，

又∵EH⊥AE，

∴∠AEH=90°，

∴△AEH為等腰直角三角形，故②正確；

設DF=x，由折疊的性質可得GF=x，EG=BE=1，

∴EF=GF+EG=x+1

∵正方形的邊長為

∴CF=3-x,EC=3-1=2,

在Rt△ECF中，由勾股定理得，

解得：

∴，故③正確；

在△ADF和△ECF中，

AD=3，DF=，EC=2，CF=，∠ADF=∠ECF=90°，

∵，，

∴△ADF和△ECF不相似，故①錯誤；

在Rt△ABE中，

在等腰Rt△AEH中，，

在Rt△ADF中，

∴，故④正確，

綜上所述，②③④正確，故選C.