Question

【題目】如圖，⊙M的圓心M（﹣1，2），⊙M經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與y軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線l解析式為：y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)B，以M為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過x軸上點(diǎn)D（2，0）和點(diǎn)C（﹣4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：直線l是⊙M的切線；

（3）點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且PE與直線l垂直，垂足為E，PF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PEF的面積最��？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+．（2）證明見解析；（3）P（，）．．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x+4），將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）連接AM，過點(diǎn)M作MG⊥AD，垂足為G．先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的長，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可證明∠MAG=∠ABD，故此可證明AM⊥AB；

（3））先證明∠FPE=∠FBD．則PF：PE：EF=：2：1．則△PEF的面積=PF2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣x+），則F（x，﹣x+4）．然后可得到PF與x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x+4），將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+．

（2）連接AM，過點(diǎn)M作MG⊥AD，垂足為G．

把x=0代入y=﹣x+4得：y=4，

∴A（0，4）．

將y=0代入得：0=﹣x+4，解得x=8，

∴B（8，0）．

∴OA=4，OB=8．

∵M（﹣1，2），A（0，4），

∴MG=1，AG=2．

∴tan∠MAG=tan∠ABO=．

∴∠MAG=∠ABO．

∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．

∴l是⊙M的切線．

（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，

∴∠FPE=∠FBD．

∴tan∠FPE=．

∴PF：PE：EF=：2：1．

∴△PEF的面積=PEEF=PFPF=PF2．

∴當(dāng)PF最小時(shí)，△PEF的面積最�。�

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣x+，則F（x，﹣x+4）．

∴PF=（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）=﹣x+4+x2+x﹣=x2﹣x+=（x﹣）2+．

∴當(dāng)x=時(shí)，PF有最小值，PF的最小值為．

∴P（，）．

∴△PEF的面積的最小值為=×（）2=．