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        1. 【題目】在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作EF垂直于AC交AD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,將△AEF折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,當(dāng)△A′CD時(shí)等腰三角形時(shí),AP的長(zhǎng)為_____

          【答案】

          【解析】首先證明四邊形AEA′F是菱形,分兩種情形:①CA′=CD,②A′C=A′D分別計(jì)算即可.

          解:∵四邊形ABCD是菱形,

          ∴AB=BC=CD=AD=5,∠DAC=∠BAC,

          ∵EF⊥AA′,

          ∴∠EPA=∠FPA=90°,

          ∴∠EAP+∠AEP=90°,∠FAP+∠AFP=90°,

          ∴∠AEP=∠AFP,

          ∴AE=AF,

          ∵△A′EF是由△AEF翻折,

          ∴AE=EA′,AF=FA′,

          ∴AE=EA′=A′F=FA,

          ∴四邊形AEA′F是菱形,

          ∴AP=PA′

          ①當(dāng)CD=CA′時(shí),∵AA′=AC﹣CA′=3,

          ∴AP=AA′=

          ②當(dāng)A′C=A′D時(shí),∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC,

          ∴△A′CD∽△DAC,

          =,

          ∴A′C=,

          ∴AA=8﹣=,

          ∴AP=AA′=

          故答案為

          “點(diǎn)睛”本題考查菱形的性質(zhì)、翻折變換、等腰三角形的判斷和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類(lèi)討論,不能漏解. 屬于中考?碱}型.

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