Question

【題目】已知拋物線y=x2+1（如圖所示）．

（1）填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（______），_____），對(duì)稱軸是_____；

（2）已知y軸上一點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】 （0,1） y軸（或x=0） P1（2，4），P2（﹣2，4） 見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4，將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點(diǎn)的橫坐 標(biāo)，代入解析式即可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（3）首先求得直線AP的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長(zhǎng)即可得到有關(guān)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程，求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo)，

試題解析：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對(duì)稱軸是y軸（或x=O）．

（2）∵△PAB是等邊三角形，∴∠ABO=90°﹣60°=30°．∴AB=20A=4．∴PB=4．

解法一：把y=4代入y=x2+1，得 x=±2．∴P1（2，4），P2（﹣2，4）．

解法二：∴OB==2

∴P1（2，4），根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得P2（﹣2，4）．

（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）

∴設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b

∴

解得：

∴解析式為：y=x+2

設(shè)存在點(diǎn)N使得OAMN是菱形，

∵點(diǎn)M在直線AP上，

∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（m， m+2）

如圖，作MQ⊥y軸于點(diǎn)Q，則MQ=m，AQ=OQ﹣OA=m+2﹣2=m

∵四邊形OAMN為菱形，

∴AM=AO=2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，

即：m2+（m）2=22

解得：m=±

代入直線AP的解析式求得y=3或1，

當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的右支上時(shí)，分為兩種情況：

當(dāng)N在右圖1位置時(shí)，

∵OA=MN，

∴MN=2，

又∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），即N1坐標(biāo)為（，1）．

當(dāng)N在右圖2位置時(shí)，

∵M(jìn)N=OA=2，M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，1），

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣1），即N2坐標(biāo)為（﹣，﹣1）．

當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的左支上時(shí)，分為兩種情況：

第一種是當(dāng)點(diǎn)M在線段PA上時(shí)（PA內(nèi)部）我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，1）；

第二種是當(dāng)M點(diǎn)在PA的延長(zhǎng)線上時(shí)（在第一象限）我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣1）

∴存在N1（，1），N2（﹣，﹣1）N3（﹣，1），N4（，﹣1）使得四邊形OAMN是菱形．