Question

【題目】拋物線(xiàn)與軸相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）設(shè),求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在⑴中，若點(diǎn)為直線(xiàn)下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)⊿的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是否存在整數(shù)使得和同時(shí)成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)解析式為；

（2）；

（3）不存在整數(shù)使得和同時(shí)成立，證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：本題的⑴問(wèn)中由于拋物線(xiàn)上沒(méi)有現(xiàn)成的坐標(biāo)，所以要根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合三角函數(shù)和二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行多次代數(shù)轉(zhuǎn)換即可求出二次函數(shù)的待定系數(shù)，其轉(zhuǎn)換有點(diǎn)繁瑣，可以分步進(jìn)行.

關(guān)于面積的“最值”問(wèn)題一般都要通過(guò)建立二次函數(shù)切入來(lái)解決問(wèn)題，本題的⑵問(wèn)可采用“割補(bǔ)法”來(lái)表示⊿的面積.若采取“補(bǔ)”的辦法，可以連接,此時(shí)⊿的面積可以看作是四邊形的面積減去⊿的面積，即⊿= ⊿+ （或 -）⊿ - ⊿ ，由于在⑴問(wèn)中我們能把原二次函數(shù)的解析式求出來(lái)，在此基礎(chǔ)上求出的坐標(biāo)，然后把的橫縱坐標(biāo)均用自變量表示出來(lái)，在此基礎(chǔ)上建立關(guān)于⊿的面積的二次函數(shù)使問(wèn)題可以解決.（本問(wèn)也可以采用過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)把⊿ “割”成兩個(gè)三角形來(lái)解答，計(jì)算量相當(dāng).）

本題的⑶問(wèn)是一個(gè)存在性的問(wèn)題.先假設(shè)存在，然后結(jié)合和利用根與系數(shù)的關(guān)系解出的分別的整數(shù)值，在此基礎(chǔ)上分析圖象信息所得出的條件，分別代入討論，即可使問(wèn)題獲得解決.

試題解析：（1）根據(jù)題中的

可知：

∴，

配方得： .分別代入得： ①

∵

∴；

又拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，

∴

∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為 ，

即，

又，

∴.

∴②，

把①②聯(lián)立后解得： 或（舍去）.

把代入①得： .

∴拋物線(xiàn)解析式為.

⑵.連結(jié),過(guò)點(diǎn)分別向坐標(biāo)作高 (見(jiàn)后面的圖示)

若設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入后得到，

即點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)為.

則.

在中，令時(shí)， ；

即與軸交于點(diǎn)的坐標(biāo)為.

令時(shí)，解得：

即與軸交于點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∴⊿= ⊿+ ⊿ - ⊿=

①當(dāng)時(shí)， .

∵二次項(xiàng)系數(shù)

∴沒(méi)有最大值.

②當(dāng)時(shí)， .

∵二次項(xiàng)系數(shù)

∴有最大值.當(dāng)時(shí)， 有最大值 .

∴.

⑶假設(shè)存在整數(shù)，并且使得和同時(shí)成立.、

根據(jù)題意有： 即

解得：

∵為整數(shù)

∴

對(duì)于拋物線(xiàn)與軸相交于兩點(diǎn).

若要同時(shí)存在和說(shuō)明：

①此時(shí)的拋物線(xiàn)開(kāi)口向上且與軸在兩個(gè)點(diǎn)之間（不含這兩個(gè)點(diǎn)）有兩個(gè)交點(diǎn).；

②當(dāng)時(shí)， ；

③當(dāng)時(shí)， .

∴ ①；②；③； 又④要為整數(shù).

∴把代入①②③④解得無(wú)解；

把代入①②③④解得無(wú)解；

把代入①②③④解得無(wú)解.

綜上所述不存在整數(shù)使得和同時(shí)成立.