Question

【題目】已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），以E為頂點(diǎn)作∠OET=45°，射線ET交線段0B于點(diǎn)F，C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且OC=AB，拋物線y=﹣ x2+mx+n的圖象經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．

（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求證：∠BEF=∠AOE；
（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)直線EF交x軸于點(diǎn)D，P為（1）中拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線PE交x軸于點(diǎn)G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（2 +1）倍？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，

∵A（﹣2，0）B（0，2）

∴OA=OB=2，

∴AB2=OA2+OB2=22+22=8

∴AB=2 ，

∵OC=AB

∴OC=2 ，即C（0，2 ）

又∵拋物線y=﹣ x2+mx+n的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)

則可得 ，

解得 ．

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°

又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，

∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，

∴∠BEF=∠AOE．

（3）

解：當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論

①當(dāng)OE=OF時(shí)，∠OFE=∠OEF=45°

在△EOF中，∠EOF=180°﹣∠OEF﹣∠OFE=180°﹣45°﹣45°=90°

又∵∠AOB=90°

則此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意，此種情況不成立．

②如圖2，

當(dāng)FE=FO時(shí)，

∠EOF=∠OEF=45°

在△EOF中，

∠EFO=180°﹣∠OEF﹣∠EOF=180°﹣45°﹣45°=90°

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°

∴EF∥AO，

∴∠BEF=∠BAO=45°

又∵由（2）可知，∠ABO=45°

∴∠BEF=∠ABO，

∴BF=EF，

EF=BF= OB= ×2=1

∴E（﹣1，1）

③如圖③，

當(dāng)EO=EF時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H

在△AOE和△BEF中，

∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF

∴△AOE≌△BEF，

∴BE=AO=2

∵EH⊥OB，

∴∠EHB=90°，

∴∠AOB=∠EHB

∴EH∥AO，

∴∠BEH=∠BAO=45°

在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°

∴EH=BH=BEcos45°=2× =

∴OH=OB﹣BH=2﹣ ∴E（﹣ ，2﹣ ）

綜上所述，當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，所求E點(diǎn)坐標(biāo)為E（﹣1，1）或E（﹣ ，2﹣ ）

（4）

解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P．

當(dāng)直線EF與x軸有交點(diǎn)時(shí)，由（3）知，此時(shí)E（﹣ ，2﹣ ）．

如圖④所示，

過點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H，則OH=FH=2﹣ ．

由OE=EF，易知點(diǎn)E為Rt△DOF斜邊上的中點(diǎn)，即DE=EF，

過點(diǎn)F作FN∥x軸，交PG于點(diǎn)N．

易證△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG，

依題意，可得

S△EPF=（2 +1）S△EDG=（2 +1）S△EFN，

∴PE：NE=（2 +1）：1．

過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，分別交FN、EH于點(diǎn)S、T，則ST=TM=2﹣ ．

∵FN∥EH，

∴PT：ST=PE：NE=2 +1，

∴PT=（2 +1）ST=（2 +1）（2﹣ ）=3 ﹣2；

∴PM=PT+TM=2 ，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2 ，

∴﹣ x2﹣ x+2 =2 ，

解得x1=0，x2=﹣1，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2 ）或（﹣1，2 ）．

綜上所述，在直線EF上方的拋物線上存在點(diǎn)P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（2 +1）倍；

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2 ）或（﹣1，2 ）

【解析】（1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）利用三角形外角性質(zhì)，易證∠BEF=∠AOE；（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解；（4）本問關(guān)鍵是利用已知條件求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，要點(diǎn)是將△EPF與△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比．如圖④所示，首先證明點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)，然后作x軸的平行線FN，則△EDG≌△EFN，從而將△EPF與△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為PE：NE；過點(diǎn)P作x軸垂線，可依次求出線段PT、PM的長度，從而求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；最后解一元二次方程，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．