Question

如圖甲，矩形DEFC的邊DE與x軸重合且OD=2，CF交y軸于點(diǎn)B（0，2），已知拋物線的頂點(diǎn)為 A（0，1），點(diǎn)C、F在拋物線上。

（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖乙，若P點(diǎn)為拋物線上不同于A點(diǎn)的一點(diǎn)，連接PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R，試判斷PS與PB是否相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的情況下，試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M，使得以P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）由拋物線的軸對(duì)稱性可知，
C、F兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸y軸對(duì)稱，
∴C為（-2，2），
而拋物線的頂點(diǎn)為（0，1），
設(shè)解析式為y=ax²+1，
把點(diǎn)（-2，2）代入得，
∴；
（2）PS=PB，
理由如下：
設(shè)P為，
∴
PB=
∴PS=PB；
（3）設(shè)SP=b，QR=c，
由（2）可知SP=PB=b，QR=BQ=c，
∴SR=
即
設(shè)SR上有一點(diǎn)M，
∴①當(dāng)△SPM∽R(shí)QM時(shí)

∴
∴M與原點(diǎn)O重合，
②當(dāng)△SPM∽△RMQ時(shí)，
即
∴
解得
∴M為SR的中點(diǎn)，
綜上所述：M為SR的中點(diǎn)或與原點(diǎn)重合。