Question

如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三解形；
（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連接PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？

Answer 1

分析：（1）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，如圖所示，由速度是1厘米/秒，時(shí)間是t秒，利用速度×?xí)r間=路程表示出AP與BQ的長(zhǎng)，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）當(dāng)QP⊥AB時(shí)，如圖所示，由速度是1厘米/秒，時(shí)間是t秒，利用速度×?xí)r間=路程表示出AP與BQ的長(zhǎng)，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，綜上，得到所有滿足題意的t的值．
（2）根據(jù)∠B為60°特殊角，過Q作QE⊥AB，垂足為E，則BQ、BP、高EQ的長(zhǎng)可用t表示，S與t的函數(shù)關(guān)系式也可求；
（3）由題目線段的長(zhǎng)度可證得△CRQ為等邊三角形，進(jìn)而得出四邊形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．

解答：解：（1）分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，如圖1所示：

由題意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

BQ

BP

=

1

2

，即

2t

6-t

=

1

2

，
解得：t=

6

5

（秒）；
（ii）當(dāng)QP⊥AB時(shí)，如圖2所示：

由題意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-2t）厘米，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

BP

BQ

=

1

2

，即

6-t

2t

=

1

2

，
解得：t=3（秒），
綜上所述，t=

6

5

或3時(shí)，△BPQ為直角三解形；

（2）如圖3，過Q作QE⊥AB，垂足為E
由QB=2t，得QE=2t•sin60°=

3

t
由AP=t，得PB=6-t
∴S_△BPQ=

1

2

×BP×QE=

1

2

（6-t）×

3

t=-

3

2

t²+3

3

t
∴S=-

3

2

t²+3

3

t；

（3）如圖4，∵QR∥BA，
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等邊三角形，
∴QR=RC=QC=6-2t，
∵BE=BQ•cos60°=

1

2

×2t=t，
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，
∴EP∥QR，EP=QR，
∴四邊形EPRQ是平行四邊形，
∴PR=EQ=

3

t，
又∵∠PEQ=90°，
∴∠APR=∠PRQ=90°，
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°，
∴tan60°=

QR

PR

，
即

6-2t

3 t

=

3

，
解得t=

6

5

，
∴當(dāng)t=

6

5

時(shí)，△APR∽△PRQ．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形、函數(shù)等知識(shí)．利用了分類討論及方程的思想，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．