Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，AE的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)G，交邊AE于點(diǎn)F，連接DF，EG，以下結(jié)論：①DF= ，②DF∥EG，③△EFG≌△ECG，④BG= ，正確的有：（填寫序號(hào)）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：如圖，設(shè)FG交AD于M，連接BE．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，∠ADC=∠C=90°，

∵DE=EC=2，

在Rt△ADE中，AE= = =2 ．

∵AF=EF，

∴DF= AE= ，故①正確，

易證△AED≌△BEC，

∴∠AED=∠BEC，

∵DF=EF，

∴∠FDE=∠FED=∠BEC，

∴DF∥BE，

∵BE與EG相交，

∴DF與EG不平行，故②錯(cuò)誤，

∵AE⊥MG，易證AE=MG=2 ，

由△AFM∽△ADE，可知 = ，

∴FM= ，F(xiàn)G= ，

在Rt△EFG中，EG= = ，

在Rt△ECG中，CG= = ，

∴BG=BC﹣CG=4﹣ = ，故④正確，

∵EF≠EC，F(xiàn)G≠CG，∴△EGF與△EGC不全等，故③錯(cuò)誤，

所以答案是①④．

【考點(diǎn)精析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．