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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸相交于點A(﹣1,0)和點B,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=1.

          (1)求點C的坐標(用含a的代數式表示);

          (2)聯結AC、BC,若△ABC的面積為6,求此拋物線的表達式;

          (3)在第(2)小題的條件下,點Q為x軸正半軸上一點,點G與點C,點F與點A關于點Q成中心對稱,當△CGF為直角三角形時,求點Q的坐標.

          【答案】(1)C(0,﹣3a);(2) y=x2﹣2x﹣3;(3) Q的坐標為(4,0)或(9,0)

          【解析】試題分析:(1)由A點坐標和二次函數的對稱性可求出B點的坐標為(3,0),根據兩點式寫出二次函數解析式,再令y=0,求出y的值,即可的點C的坐標;

          2)由A﹣1,0),B3,0),C0,﹣3a),求出AB、OC的長,然后根據ABC的面積為6列方程求出a的值;

          3設點Q的坐標為(m,0).過點GGHx軸,垂足為點H,如圖,分兩種情況求解:當Rt△QGH∽Rt△GFH時,求得m的一個值;當Rt△GFH∽Rt△FCO時,求得m的另一個值.

          解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a0)的對稱軸為直線x=1,

          而拋物線與x軸的一個交點A的坐標為(﹣1,0)

          ∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為(3,0)

          設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),

          y=ax2﹣2ax﹣3a,

          x=0時,y=﹣3a,

          C(0,﹣3a);

          (2)∵A(﹣1,0),B3,0),C(0,﹣3a),

          AB=4,OC=3a,

          SACB=ABOC=6,

          6a=6,解得a=1,

          ∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;

          (3)設點Q的坐標為(m,0).過點GGHx軸,垂足為點H,如圖,

          ∵點G與點C,點F與點A關于點Q成中心對稱,

          QC=QG,QA=QF=m+1,QO=QH=m,OC=GH=3,

          OF=2m+1,HF=1,

          當∠CGF=90°時,

          ∵∠QGH+∠FGH=90°,QGH+∠GQH=90°,

          ∴∠GQH=HGF,

          RtQGHRtGFH,

          =,即=,解得m=9,

          Q的坐標為(9,0);

          當∠CFG=90°時,

          ∵∠GFH+∠CFO=90°,GFH+∠FGH=90°,

          ∴∠CFO=FGH,

          RtGFHRtFCO,

          =,即=,解得m=4,

          Q的坐標為(4,0);

          GCF=90°不存在,

          綜上所述,點Q的坐標為(4,0)或(9,0).

          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:初中數學 來源: 題型:

          【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,AB、AD上各有一點P、Q,APQ的周長為2,求∠PCQ.

          為了解決這個問題,我們在正方形外以BCAB延長線為邊作CBE,使得CBE≌△CDQ(如圖)

          (1)CBE可以看成由CDQ怎樣運動變化得到的?

          (2)圖中PQPE的長度有什么關系?為什么?

          (3)請用(2)的結論證明PCQ≌△PCE;

          (4)根據以上三個問題的啟發(fā),求∠PCQ的度數.

          (5)對于題目中的點Q,若Q恰好是AD的中點,求BP的長.

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          【題目】如圖1,二次函數yax22ax3aa0)的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側),與y軸的正半軸交于點C,頂點為D

          1)求頂點D的坐標(用含a的代數式表示);

          2)若以AD為直徑的圓經過點C

          ①求拋物線的函數關系式;

          ②如圖2,點Ey軸負半軸上一點,連接BE,將△OBE繞平面內某一點旋轉180°,得到△PMN(點PM、N分別和點OB、E對應),并且點M、N都在拋物線上,作MFx軸于點F,若線段MFBF12,求點M、N的坐標;

          ③點Q在拋物線的對稱軸上,以Q為圓心的圓過A、B兩點,并且和直線CD相切,如圖3,求點Q的坐標.

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          【題目】如圖,在ABC中,∠ABC=90°,AB=6cm,AD=24cmBCCD的長度之和為34cm,其中C是直線l上的一個動點,請你探究當C離點B有多遠時,ACD是以DC為斜邊的直角三角形.

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          【題目】如圖,長方形ABCD中,PAD上一動點,連接BP,過點ABP的垂線,垂足為F,交BD于點E,交CD于點G.

          (1)當AB=AD,且PAD的中點時,求證:AG=BP;

          (2)在(1)的條件下,求的值;

          (3)類比探究:若AB=3AD,AD=2AP,的值為  .(直接填答案)

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          【題目】在一次數學活動課中,某數學小組探究求環(huán)形花壇(如圖所示)面積的方法,現有以下工具;①卷尺;②直棒EF;T型尺(CD所在的直線垂直平分線段AB).

          (1)在圖1中,請你畫出用T形尺找大圓圓心的示意圖(保留畫圖痕跡,不寫畫法);

          (2)如圖2,小華說:我只用一根直棒和一個卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積,具體做法如下:

          將直棒放置到與小圓相切,用卷尺量出此時直棒與大圓兩交點M,N之間的距離,就可求出環(huán)形花壇的面積如果測得MN=10m,請你求出這個環(huán)形花壇的面積.

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別是邊AD,BC的中點,連接DF,過點EEHDF,垂足為H,EH的延長線交DC于點G.

          (1)猜想DGCF的數量關系,并證明你的結論;

          (2)過點HMNCD,分別交AD,BC于點M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點PMN上一點,求△PDC周長的最小值.

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          【題目】已知在平面直角坐標系中,有兩定點、,是反比例函數圖象上動點,當為直角三角形時,點坐標為________

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          【題目】ABC中,AB=AC,點D是直線BC上一動點(不與點BC重合),在AD右側作ADE,使得AD=AE,∠DAE=BAC,聯結DE,CE

          1)當點DBC邊上時,求證:EC=DB

          2)當ECAB,若ABD的最小角為20°,請寫出ADB的度數,并對其中一個答案加以證明。

          答:∠ADB的度數除了20°,還可能是 (直接寫出所有答案,并對其中一個答案加以證明)

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