Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圓O的直徑DE=12cm，點E與點C重合，半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在BC所在的直線上．設運動時間為x（s），半圓O在△ABC的重疊部分的面積為S（cm2）．
（1）當x=（s）時，點O與線段BC的中點重合；
（2）在（1）的條件下，求半圓O與△ABC的重疊部分的面積S；
（3）當x為何值時，半圓O所在的圓與△ABC的邊所在的直線相切？

Answer 1

【答案】
（1）6
（2）解：如圖1中，設⊙O與AB交于點H，連接OH，CH．

∵BC是直徑，

∴∠CHB=90°，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠HBC=∠HCB=45°，

∴HC=HB，

∴OH⊥BC，OH=OB=OC=6，

∴S=S扇形OHC+S△OHB= π62+ 66=18+9π

（3）解：如圖2中，當⊙O與AB相切時（點O在點B左側(cè)），易知OH=BH=6，OB=6 ，OC=12﹣6 ，

∴x= =9﹣3 ．

如圖3中，當⊙O與AB相切時（點O在點B右側(cè)），易知OH=BH=6，OB=6 ，OC=12+6 ，

∴x= =9+3 ．

如圖1中，x=6時，⊙O與AC相切．

綜上所述，當x=0或（9﹣3 ）或6或（9+3 ）s時，半圓O所在的圓與△ABC的邊所在的直線相切

【解析】解：（1）如圖1中，當點O在AB的中點時，x= =6s．
所以答案是6s．