Question

24、（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，D是BC邊上一點，CF平分∠ACG，E是CF上一點，若∠ADE=60°求證：DA=DE
（2）如圖2，四邊形ABCD是正方形，M為AB上的一點，BF平分∠CBG，E是BF上一點，若DM⊥ME，與（1）中類似的結(jié)論是什么？（不必證明）
（3）在（2）若將DM⊥ME換為MD=ME，能不能證明DM⊥ME？說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明線段相等，最常用的方法是證明線段所在的三角形全等，本題需要作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形進行證明；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得到類似的結(jié)論：MD=ME；
（3）構(gòu)造出全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)，利用角相等可得答案．

解答：證明：在AB上截取AM=DC，連接MD
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=60°，
又AM=DC，
∴BM=BD，
∴△MBD為等邊三角形，
∴∠AMD=∠ACG=120°，
∵CF平分∠ACG，
∴∠DCE=120°，
∴∠AMD=∠DCE，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠B=∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠MAD，
∴△AMD≌△DCE，
∴DA=DE；

（2）MD=ME；

（3）可以證明，
證明如下：連接DB并延長到N，
使BN=BE，DN交ME于點O，連接MN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠MBN=135°，
∵BF平分∠CBG，
∴∠MBE=135°，∠DBE=90°，
∴∠MBN=∠MBE，
∴△MBN≌△MBE，
∴∠MNB=∠MEB，MN=ME，
∵ME=MD，
∴MN=MD，
∴∠MNB=∠MDN，
∴∠MDN=∠MEB，
∵∠MOD=∠BOE，
∴∠DME=∠DBE=90°．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)；想法構(gòu)造全等三角形是正確解答本題的關(guān)鍵．