Question

如圖，已知△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=4，等邊△DEF的一邊在直角邊AC上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)D恰好落在AB邊上，
（1）求等邊△DEF的邊長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)你探索，在移動(dòng)過(guò)程中，線段CE與圖中哪條線段始終保持相等，并說(shuō)明理由；
（3）若設(shè)線段CE為x，在移動(dòng)過(guò)程中，等邊△DEF與Rt△ABC兩圖形重疊部分的面積為y．請(qǐng)你寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)E點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，可證得△ADC是直角三角形，根據(jù)其邊角關(guān)系，即可得出；
（2）設(shè)CE的長(zhǎng)為x，則AE=4-x，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，可得出EH、HD和DG的長(zhǎng)，即可得出；
（3）首先求得△DHG的面積，然后，根據(jù)重疊部分的面積=等邊△DEF的面積-△DHG的面積，根據(jù)EF和AC的關(guān)系，可求出x的取值范圍；

解答：解：（1）當(dāng)E點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)D恰好落在AB邊上，
∵∠DEA=60°，∠A=30°，
∴∠CDA=90°，
在Rt△ACD中，DC=

1

2

AC=2，
∴等邊△DEF的邊長(zhǎng)是2．

（2）設(shè)CE的長(zhǎng)為x，則AE=4-x，
∴在Rt△AHE中，EH=

1

2

AE=2-

1

2

x，
DH=2-EH=2-（2-

1

2

x）=

1

2

x，
∵∠A=30°，∠DFC=60°，
∴∠DGH=∠AGF=30°，
∴在Rt△GHD中，DG=2DH=x，
∴DG=CE．

（3）由（2）得DH=

1

2

x，則HG=

3

2

x，
∴S_△DHG=

3

8

x2，
又∵S_△DEF=

3

，
∴y=

3

-

3

8

x2（0≤x≤2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，知道在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．