Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是M′．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線AM′與此拋物線的另一個交點(diǎn)為C，求△CAB的面積；
（3）是否存在過A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 ，

解得 ，

拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3

（2）解：將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，得

y=（x﹣1）2﹣4，

M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣4），

M′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），

設(shè)AM′的解析式為y=kx+b，

將A、M′點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

，

解得 ，

AM′的解析式為y=2x+2，

聯(lián)立AM′與拋物線，得

，

解得 ，

C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，12）．

S△ABC= ×4×12=24

（3）解：存在過A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形，

由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得

P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），

①當(dāng)頂點(diǎn)P（1，﹣2）時，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

a（﹣1﹣1）2﹣2=0，

解得a= ，

拋物線的解析式為y= （x﹣1）2﹣2，

②當(dāng)P（1，2）時，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+2，將

A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

a（﹣1﹣1）2+2=0，

解得a=﹣ ，

拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣1）2+2，

綜上所述：y= （x﹣1）2﹣2或y=﹣ （x﹣1）2+2，使得四邊形APBQ為正方形．

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求解。
（2）先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可求得點(diǎn)M′的坐標(biāo)，再求出直線AM′的解析式，再將兩函數(shù)解析式聯(lián)立，建立方程組，求解即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出△ABC的面積。
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式。
【考點(diǎn)精析】掌握確定一次函數(shù)的表達(dá)式和正方形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．