Question

【題目】已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，連接AF、BF．

（1）求AE和BE的長；

（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，平移中的△ABF為△A1B1F1設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）．

①當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB上時，求出m的值

②當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AD上時，當(dāng)直接寫出相應(yīng)的m的值．

（3）如圖②，將△ABF繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AE交于點(diǎn)O，當(dāng)∠A′BD=∠FAB時，請直接寫出OB的長．

Answer 1

【答案】（1）AE=4，BE=3；（2）①3；②；（3）1或.

【解析】分析：（1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；（2）依題意畫出圖形，如答圖2所示．利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，分兩種情形分別求解即可．

本題解析：

（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=，

由勾股定理得：BD=．

∵S△ABD=BDAE=ABAD，

∴AE==4．

在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．

（2）設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′，如答圖2所示：

由對稱點(diǎn)性質(zhì)可知，∠1=∠2．

由平移性質(zhì)可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．

①當(dāng)點(diǎn)F′落在AB上時，

∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，∴∠3=∠2，

∴BB′=B′F′=3，即m=3；

②當(dāng)點(diǎn)F′落在AD上時，

∵AB∥A′B′，∴∠6=∠2，

∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，

又易知A′B′⊥AD，

∴△B′F′D為等腰三角形，∴B′D=B′F′=3，

∴BB′=BD﹣B′D=﹣3=，即m=．

（3）如圖3中，設(shè)AE交BA′于K．

∵∠KBE=∠FAB=∠BAE，∠KEB=∠AEB，

∴△EKB∽△EBA，∴可得BE2=EKEA，∴EK=，

在Rt△BEK中，BK=，

∴A′K=5﹣=，∵∠A′=∠KBE，∴OA′∥BE，∴，

∴，∴OK=，∴AO=AE﹣OK=KE=1．

如圖4中，當(dāng)∠DBA′=∠BAF時，點(diǎn)A′在線段BC上，

易證∠OAB=∠OBA，∴OA=OB，設(shè)OA=OB=x，

在Rt△OBE中，∵OB2=OE2+BE2，∴x2=32+（4﹣x）2，

∴x=，∴OA=，

綜上所述，滿足條件的OA的長為1或．