Question

如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與B不重合），以線段CP為邊作等邊△CPD（D、A在BC的同側(cè)），連接AD．
（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并給予證明；
（2）設(shè)BP=x，△PAD的面積為y，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出△PAD面積的最大值及取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）①當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，分別證明即可；
（2）由（1）知∠BAD=120°，AD=BP=x，過P作DA延長(zhǎng)線的垂線PM，M為垂足，則∠PAM=60°，∠APM=30°，表示出△PAD面積然后根據(jù)配方法即可得出答案．

解答：解：（1）四邊形ABCD是梯形或菱形，證明如下：
①當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí)，
∵△ABC與△CPD都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠1=∠2，
又∵AC=BC，DC=PC，
∴△ADC≌△BPC，
∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°，
∴AD∥BC．
又∵∠1=∠2＜60°，
∴∠DCB＜120°，即∠B+∠DCB＜180°，
∴DC與AB不平行，
∴四邊形ABCD是梯形；
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PC與AC重合，此時(shí)AB=BC=CA=AD=DC，四邊形ABCD是菱形，
綜上所述，四邊形ABCD是梯形或菱形；

（2）由（1）知∠BAD=120°，AD=BP=x，過P作DA延長(zhǎng)線的垂線PM，M為垂足，
則∠PAM=60°，∠APM=30°，
又BP=x，AB=1，
∴AP=1-x，
∴AM=

1

2

(1-x)，PM=

3

2

(1-x)
∴y=

1

2

AD•PM=

1

2

x•

3

2

(1-x)=-

3

4

(x2-x)=-

3

4

(x-

1

2

)2+

3

16

（0＜x＜1）．
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y取最大值為

3

16

，即當(dāng)x=

1

2

時(shí)△PAD面積取得最大面積為

3

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值及等邊三角形的性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值．