Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B,P為下底BC邊上一點（不與B、C重合），連結(jié)AP，過P點作PE交DC于E，使得∠APE=∠B.

(1)求證：△ABP∽△PCE；

(2)求腰AB的長；

(3)在底邊BC上是否存在一點P，使得DE:EC=5:3.如果存在，求出BP的長；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）欲證△ABP∽△PCE，需找出兩組對應(yīng)角相等；由等腰梯形的性質(zhì)可得出∠B=∠C，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證得∠EPC=∠BAP；由此得證；（2）AB=4cm；（3）BP=1cm或6cm

【解析】

試題分析：（1）欲證△ABP∽△PCE，需找出兩組對應(yīng)角相等；由等腰梯形的性質(zhì)可得出∠B=∠C，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證得∠EPC=∠BAP；由此得證；

（2）可過作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性質(zhì)得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根據(jù)∠B的度數(shù)及BF的長即可求得AB的值；

（3）在（2）中求得了AB的長，即可求出DE：EC=5：3時，DE、CE的值．設(shè)BP的長為x，進而可表示出PC的長，然后根據(jù)（1）的相似三角形，可得出關(guān)于AB、BP、PC、CE的比例關(guān)系式，由此可得出關(guān)于x的分式方程，若方程有解，則x的值即為BP的長．若方程無解，則說明不存在符合條件的P點．

（1）由∠APC為△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；

∵∠B=∠APE

∴∠EPC=∠BAP

∵∠B=∠C

∴△ABP∽△PCE；

（2）過A作AF⊥BC于F

∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，

∴BF=2cm， 

Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；

∴AB=4cm；

（3）存在這樣的點P．

∵DE：EC=5：3，DE+EC=DC=4

解之得EC=cm．

設(shè)BP=x，則PC=7-x

由△ABP∽△PCE可得

∵AB=4，PC=7-x，

解之得x₁=1，x₂=6，

經(jīng)檢驗都符合題意，

即BP=1cm或BP=6cm．

考點：等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)

點評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例，注意對應(yīng)字母在對應(yīng)位置上.