Question

22、已知：如圖，⊙A與⊙B外切于點P，BC切⊙A于點C，⊙A與⊙B的內公切線PD交AC于點D，交BC于點M．
（1）求證：CD=PB；
（2）如果DN∥BC，求證：DN是⊙B的切線．

Answer 1

分析：（1）由BC切⊙A于點C，DP切⊙A于點P可以得到∠DCM=∠BPM=90°，根據切線長定理得到MC=MP，然后利用已知條件可以證明DCM≌△BPM，最后利用全等三角形的性質即可求解；
（2）如圖，過點B作BH⊥DN，垂足為點H，由HD∥BC，BC⊥CD可以得到HD⊥CD，接著得到∠BCD=∠CDH=∠BHD=90°，進一步得到四邊形BCDH是矩形，根據矩形的性質得到BH=CD，而CD=PB，由此得到BH=PB，最后根據切線的判定定理即可求解．

解答：（1）證明：∵BC切⊙A于點C，DP切⊙A于點P，
∴∠DCM=∠BPM=90°，MC=MP．（3分）
∵∠DMC=∠BMP，
∴△DCM≌△BPM．（1分）
∴CD=PB．（1分）

（2）證明：如圖，過點B作BH⊥DN，垂足為點H．（1分）
∵HD∥BC，BC⊥CD，∴HD⊥CD．（1分）
∴∠BCD=∠CDH=∠BHD=90°．（1分）
∴四邊形BCDH是矩形．（1分）
∴BH=CD．（1分）
∵CD=PB，
∴BH=PB．（1分）
∴DN是⊙B的切線．（1分）

點評：此題主要考查了切線的性質與判定，解題時首先利用切線的性質構造全等條件，然后利用矩形的性質構造切線的判定的條件即可解決問題．