Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q．

（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求直線BD的解析式；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)M，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；

（4）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）；（3）m=2；（4）Q的坐標(biāo)為（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式列方程即可得到結(jié)論；

（2）由點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，得到D（0，﹣2），解方程即可得到結(jié)論；

（3）如圖1所示：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到QM=CD，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，），則M（m，），列方程即可得到結(jié)論；

（4）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，），分兩種情況：①當(dāng)∠QBD=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理列方程求得m=3，m=4（不合題意，舍去），②當(dāng)∠QDB=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理列方程求得m=8，m=﹣1，于是得到結(jié)論．

試題解析：（1）∵令x=0得；y=2，∴C（0，2）．

∵令y=0得：，解得：，，∴A（﹣1，0），B（4，0）．

（2）∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，∴D（0，﹣2）．

設(shè)直線BD的解析式為y=kx﹣2．

∵將（4，0）代入得：4k﹣2=0，∴k=，∴直線BD的解析式為．

（3）如圖1所示：

∵QM∥DC，∴當(dāng)QM=CD時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形．

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，），則M（m，），∴，解得：m=2，m=0（不合題意，舍去），∴當(dāng)m=2時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；

（4）存在，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，），∵△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形，∴分兩種情況討論：

①當(dāng)∠QBD=90°時(shí)，由勾股定理得：，即，解得：m=3，m=4（不合題意，舍去），∴Q（3，2）；

②當(dāng)∠QDB=90°時(shí)，由勾股定理得：，即，解得：m=8，m=﹣1，∴Q（8，﹣18），（﹣1，0）；

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．